流体力学基本方程

JiangsuUniversity江苏大学江苏大学第二章流体力学的基本方程首先介绍流体运动的描述方法、基本概念，然后利用物理学的基本定律（质第一节：研究流体运动的两种方法首先介绍流体运动的描述方法、基本概念，然后利用物理学的基本定律（质量守恒、动量守恒、能量守恒）导出流体力学中的方程。（连续性方程、动量方程、伯努利方程）。tsvh2ζtsv=ghv2ζ=流体质点的流速固定空间点的流速JiangsuUniversity江苏大学江苏大学一、拉格朗日法以每个运动的流体质点为研究对象，通过对每个质点的运动研究来获得整以每个运动的流体质点为研究对象，通过对每个质点的运动研究来获得整个流体运动的规律。⎪⎧=),,,(tcbaxx⎪⎩⎪⎨⎧==),,,(),,,(),,,(tcbazztcbayy⎩),,,(tcbarrvv=)(b),,,(tcbavvvv=),,,(tcbaaavv=trv∂∂=vv22tra∂∂=vv其中a、b、c、t为拉格朗日变量。2JiangsuUniversity江苏大学江苏大学二、欧拉法欧拉法研究的是各空间上流体运动参数随时间的变化，把全部空间点上的欧拉法研究的是各空间上流体运动参数随时间的变化，把全部空间点上的流动情况综合起来，就得到整个流场的运动情况。场：如果在空间中的每一点，都对应着某个物理量的一个确定值，这个空间就称为这个物理量的场。如：数量场（温度场、密度场、电位场）、矢量场（力场、速度场）。流场：充满运动流体的空间。流场：充满运动流体的空间。),,,(tzyxvvvv=),,,(tzyxaavv=),,,(tzyxρρ=),,,(tzyxpp=其中x、y、z、t为欧拉变量。3JiangsuUniversity江苏大学江苏大学三、随体加速度2ra∂=vv1拉格朗日的加速度2ta∂=1.拉格朗日的加速度2.欧拉法表示的流体加速度流体质点的加速度等于质点速度对时间的变化率：流体质点的加速度等于质点速度对时间的变化率：vvvaΔΔΔ01limlimvvvv−==4ttttΔΔΔΔ00→→JiangsuUniversity江苏大学江苏大学),,,(),,,(01tzyxvttzzyyxxvvvvv−++++=ΔΔΔΔΔvvvv∂∂∂∂vvvvzzvyyvxxvttvΔΔΔΔ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=zvvyvvxvvtvdtvdazyx∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==vvvvvvvvtvdtvdavvvvv)(∇⋅+∂∂==tv∂∂v:表示同一固定空间点上流体质点的速度变化率（即：同一固定空间点上由于时间变化而引起的加速度），称为当地加速度。vvvv)(∇⋅:表示同一时间，不同空间点转移时引起的速度变化，称为迁移加速度。5加速度=当地加速度+迁移加速度JiangsuUniversity江苏大学江苏大学用欧拉法求其它物理量N对时间的变化率时NdN∂全导数=当地导数+迁移导数NvtNdtdN)(∇⋅+∂∂=v全导数=当地导数+迁移导数kji∂+∂+∂∇vvv∇：微分算子zkyjxi∂+∂+∂=∇∇：微分算子四、系统与控制体四、系统与控制体6JiangsuUniversity江苏大学江苏大学系统：一团流体的集合，在运动过程中，系统始终包含着确定的这些流体质点。有确定的质量，而这一团流体的表面常常是不断变形的。控制体：控制体是流场中某一确定的空间区域，即相对于坐标系是固定不变的。控制体的表面是控制面，控制体的形状是根据流体运动情况和边界情况选定的。情况选定的。7JiangsuUniversity江苏大学江苏大学第二节流体运动的基本概念一、定常流、非定常流一、定常流、非定常流0=∂∂tN0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂tTttptvρv∂t∂∂∂∂tttt二、均匀流、非均匀流二、均匀流、非均匀流0=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂zpypxpzvyvxvrvv∂∂∂∂∂∂zyxzyx8JiangsuUniversity江苏大学江苏大学三、一元流动、二元流动、三元流动流动的简化：三元二元一元流动的简化：三元二元一元四、轨迹与流线1.迹线：流体质点的运动轨迹，即质点在不同时刻所在位置的连线。),,,(tzyxvdtdxx=),,,(tzyxvdtdyy=dz),,,(tzyxvdtdzz=积分后所得表达式中消去时间t即得迹线方程9积分后所得表达式中消去时间t即得迹线方程JiangsuUniversity江苏大学江苏大学2.流线：流场中某一瞬时的一条光滑曲线，曲线上每一点的速度矢量总是在该点与曲线相切。0=×sdvvv0=vvvkjizyxvvvdzdydxzyxzyxvdzvdyvdx==10JiangsuUniversity江苏大学江苏大学①定常流时，流线形状不随时间变化，流线和迹线重合流线和迹线重合②流场中，除速度为零的点（驻点）、速度为无穷大的点（奇点）外，流线既不能相交，也不能突然转折。③流线没有大小、粗细，但有疏密、疏的地方表示流速小，密的地方表示流速大。11JiangsuUniversity江苏大学江苏大学五、流管、流束1.流管：在流场中任取一封闭曲线（不是流线），过的每一点作流线，这1.流管：在流场中任取一封闭曲线（不是流线），过的每一点作流线，这些流线所组成的管状表面称为流管。流管的性质：流管的性质：①流管不能相交；②流管的形状和位置在定常流时不随时间变化，而在非定常流时，则随时时间变化；③流管不能在流场内部中断，因为在实际的流场中，流管截面不能收缩到零，否则在该处的流速要达到无限大，这是不可能的。因此，流管只能始于或终于流场边界，如物体表面、自由面，或形成环形，或伸到无穷远处。12面、自由面，或形成环形，或伸到无穷远处。JiangsuUniversity江苏大学江苏大学2.流束：流管内部的流体称为流束，断面无穷小的流束为微小流束，无数微小流束的总和称为总流。如管道的水流可视为总流。六、过流断面、湿周、水力半径和当量直径13过流断面湿周JiangsuUniversity江苏大学江苏大学χAR=χAde4=水力半径和当量直径χχ七、流量、断面平均流速1．流量1．流量体积流量、质量流量和重量流量体积流量的表示体积流量的表示在流束的过流断面上取一微元面积dA，速度为v，则通过dA的体积流量为vdAdQ=∫∫=AvdAQ14JiangsuUniversity江苏大学江苏大学∫∫∫∫∫∫⋅==⋅=AAnAAdvdAvdAnvvQvvvv)cos()cos(nvvv⋅：是速度矢量和法线方向（截面）的夹角余弦2.平均流速Q2.平均流速AQv=15JiangsuUniversity江苏大学江苏大学八、动能、动量修正系数用过流断面上平均流速表示的动能、动量与实际速度所求的动能、动量引用过流断面上平均流速表示的动能、动量与实际速度所求的动能、动量引起的误差称动能、动量修正系数。AvudAA=∫AvudAρρ=∫vQudQβρρ=∫AvdAuvQudQ22ρρρρβ∫∫==A∫222121vQudQραρ=∫dAuudQ32121121ρρα∫∫==Qρρ1622QQAρρ∫AvvQ322121ρρJiangsuUniversity江苏大学江苏大学第三节连续性方程质量守恒方程∑QQ质量守恒方程∑=用户厂QQ一、三维连续性方程2dxxvvxx∂∂−2dxx∂∂−ρρ2dxxvvxx∂∂+2dxx∂∂+ρρ左边流入控制体的流体质量dydzdxxvvdxxxx)2)(2(∂∂−∂∂−ρρ右边流出控制体的流体质量dydzdxxvvdxxxx)2)(2(∂∂+∂∂+ρρ17JiangsuUniversity江苏大学江苏大学dxdydzvdydzdxvdxvxxx∂∂−=∂∂−∂∂−)()(ρρρx方向流入和流出控制体的流体质量差为：xxx∂∂∂体的流体质量差为：dxdydzyvy∂∂−)(ρy方向流入和流出控制体的流体质量差为：y∂dxdydzzvz∂∂−)(ρz方向流入和流出控制体的流体质量差为：z∂dxdydzvvvzyx])()()([∂∂+∂∂+∂∂−ρρρ单位时间内流入和流出的质量差为：(1)yzyx][∂∂∂流出的质量差为：单位时间内控制体内的质量增量：()0=tdxdydzρdtt=dxdydzdt)(∂+ρρ18dttdxdydzdtt)(∂+ρρJiangsuUniversity江苏大学江苏大学dt时段内控制体内流体的质量增量为：∂∂ρρdtdxdydztdxdydzdxdydzdtt∂∂=−∂∂+ρρρρ)(单位时段内控制体内流体质量的增量为：(2)单位时段内控制体内流体质量的增量为：dxdydztdtdtdxdydzt∂∂=∂∂ρρ/dxdydzzvyvxvzyx])()()([∂∂+∂∂+∂∂−ρρρ(1)zyx∂∂∂0)()()(=∂+∂+∂+∂vvvzyxρρρρ0=∂+∂+∂+∂zyxt三维、非定常流动、可压缩流体最一般的情况的连续性方程19JiangsuUniversity江苏大学江苏大学0)()()(=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂zvyvxvtzyxρρρρ∂∂∂∂zyxt定常流动0=∂∂ρ0)()()(=∂∂+∂∂+∂∂vvvzyxρρρ∂t∂∂∂zyx不可压缩流体c=ρ0=∂∂+∂∂+∂∂zvyvxvzyx∂∂∂zyx二维流动不可压缩流动0=∂∂+∂∂yvxvyx∂∂yx二、一维、定常、不可压缩流体连续性方程在流场中取一流束，取断面1、2和流管所围体积为控制体，由质量守恒定律：单位时间内：流入质量-流出质量=20单位时间内：流入质量-流出质量=控制体内的质量增量。JiangsuUniversity江苏大学江苏大学对于定常流动：控制体内的质量增量，所以流入=流出A11Avρ22Avρ单位时间内流入控制体的质量：单位时间内流出控制体的质量：2211AvAv=21QQ=21QQ例1：如上图所示，有二块平行平板，上板以匀速v向下平移，间隙中的油向左右挤出，前后油液无流动。间隙宽b，前后油液无流动。间隙宽b，高h(t)，求油的平均流速随位置变化的关系u(x)。21JiangsuUniversity江苏大学江苏大学单位时间内流出控制体的质量为：)()(tbhxuρ单位时间内控制体内的质量变化（质量增量）：单位时间内控制体内的质量变化（质量增量）：xbvthtxbtxbhtdVtV)]([)]([ρρρ−=∂∂=∂∂=∂∂∫tttV∂∂∂∫流入质量-流出质量=质量增量xbvtbhxu)()(0ρρ−=−xthvux)(=th)(例题2：水平放置的分支管路，已知A、B、C、D处管路直径，已知A、B、C、D处管路直径和A、C处的速度，求B、D处的速度大小。22JiangsuUniversity江苏大学江苏大学AB段BAQQ=11224141BBAAdvdvππ⋅=⋅Ad2ABABvddv2=BC段DCBQQQ+=BC段DCBQQQ222414141DDCCBBdvdvdvπππ⋅+⋅=⋅222DCCBBDddvdvv−=⎪⎧+=yxu)(6例题3：已知某流场的速度分布为：⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+zyxwzyvyxu42)(6试分析流动是否连续（存在）。23⎩试分析流动是否连续（存在）。JiangsuUniversity江苏大学江苏大学6=∂∂xu2=∂∂yv4=∂∂zw∂x∂y∂z012426≠=++=∂∂+∂∂+∂∂wvu∂∂∂zyx对不可压缩流体，以上流动不存在。对可压缩流体，因密度的变化未给出，故无法判断。出，故无法判断。例题3：假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横断面积，且在A断面上流动物理量是均匀的，试证明连续性方程具有下述形式：上流动物理量是均匀的，试证明连续性方程具有下述形式：0)()(=∂∂+∂∂AusAtρρ∂∂st式中：u为速度，ds为流动方向s的弧长。24s的弧长。JiangsuUniversity江苏大学江苏大学由质量守恒定律，流入控制体的质量-流出控制体的质量=控制体内质量的增加（单位时间）流入质量：dAuA∫ρ∂流出质量：dsdAusdAuAA)(∫∫∂∂+ρρ对控制体内应用