第二章(3) 矩阵的秩

第三节矩阵的秩1111221222121212::1:A,1kkkkkkmnkmnkijijijijijijijijijiiimkkjjjnaaaaaakaAkkkkkaa阶子矩阵阶中任意行列的交叉例从取定行列阶子处元素按原顺序组成.阶子矩阵的行列为式式子式一、矩阵的秩()max:det0kkrankAkA定义2.3如果矩阵A中不等于0的子式最高阶为r，r就称为矩阵A的秩，记为rank(A)=r零矩阵的秩定义为0。101220243036120rank()=1中有阶非零子式，但所有阶子式故AAArank(A)=rank()=rank()min(,).rank()=rank()4.rank()=det()0.11rr至少有一个阶子式不为零，而所有阶子式为零.问题：1.若，有没有为零的阶子式，有没有不为零的阶子式?2.对于矩阵，3.对于阶方阵，TAAAmnAAmnAAAAArrrrnn此时又称为(可逆)，否则称为满秩矩阵降秩矩阵(不可逆).AA定理2.6矩阵经初等变换后，秩不变。(证略)24.ABAB若经过有限次初等变换变成矩阵，定义和称等价。(1)()()(2)(3)(4)2.7ABrankArankBAAABBAABBCAC若与等价，则与自身等价若与等价，则与等价与等价,与等价,则定与理等价12(1)(1)(1),2.5,;1,.rkrmkrkjrkjjja(2)定义:前行是非零行其他各行都是零行第行的第个非阶零元素是则是严格梯形矩递增的阵103450720200020000000524A5241020007210014024B不是阶梯型矩阵是阶梯型矩阵2.8定理行初任何一个非零矩阵可经化成阶等变换梯形矩阵.11121211112211111111111111,,2,,,,,,,,,,,,,,00:000000jnjjnmjmjmnjnjnmjmnjjaaaaaAaaaaaaaaaaa行变换证明设第1个非零列11112112211121111111,,,,,,,,,,,,000000000000jnnmnjnnjjjjmnaaaaaaaaaaaa行变换行变换()()()()()()()()2.9(0)即：经一系列初等变换经一系列初等列变行换任定理矩阵意非零矩阵等价于下列形式的矩阵：rnrmrrrmrnrrrnrmrrmrnrEmnA000000AEA()()()(),.()rrnrmrrmrmnnrrrankE00ArA0这里，称为秩为的矩阵等价标准形的12321324314200126701212011212001267=02324302324303443503443512.1811011212012120026700267001261000008001261001rrrrrrrrrrA例1123238360000010000100000100000001000010000010000000008008000001000000000000000000000ccccccc列变换定义2.6对施行一次初等变换，得到的矩阵称为单位矩阵初等矩阵。E单位矩阵新矩阵.三种初等变换对应三种初等矩阵称为初等矩阵二、用初等变换求逆矩阵,:101(,)101EijiijEj(1)交换的第两行(列)第行第行()1()(2)0(1())kkkEiikEi数乘于的第行第列行111(3)(()1(,)kEjEiikjkijEijk数乘于的第行加到的第行第列乘于数加到第列)第行第行初等矩阵都是可逆矩阵,其逆矩阵也是初等矩阵1(,)(,)()ijijEE11()()()kiikEE1(((),)),))((EjiEjikk(,)(,)11010110101ijijEE证：111-1((,))(,)(())(())(E(i(k)))(())((),)((),)(1kkEijEijEikEiEEiEjkiEjkEiE所以，因为所以因为所以-1E(j(k),i))((),)Ejki111213313233212223212223313233111213111213131211212223232221313233333231001(1,3)010100001(1,3)010100aaaaaaEAaaaaaaaaaaaaaaaaaaAEaaaaaaaaaaaa例：1112131112132122232122233132333132331112131112132122232122313233100(3())01000100(3())01000aaaaaaEkAaaaaaakaaaaaaaaaaaaAEkaaaaaaaakkkakkk23313233kaaa2.10(,)(())((),)是个矩阵做一次初等变换用阶定理行左乘列右初等矩阵即：做一次初等变换用阶初乘等矩阵即：ijiijrrkrrkrEijEAmnAmAABABABABABikEjkABAnAiA(,)(())((),)ijiijcckcckcEiBABABjEikEjkABBiAAB1:111((),)((),)1ijrkijrmABABEjkiEjkiAAAAAk证只证1((),)ijjmrkrijAAAABBAEjkiBkAA与的结果相同，即。12111121122121111,,,.2.8i(1,2,...,)2.8行变换行变换2行变换3行变换s设是非零矩阵，则存在一系列阶初等矩阵,使得是阶梯形矩阵证：由定定理是阶梯形矩阵阶梯形理，设行变换对应初等矩阵阵是矩sssisssssssAmnmPPPPPPAABBBPisBPABPBPPABPBBPPPA21122112,,,,,,000(2.)9设是非零矩阵，则存在一系列初等矩阵和初定理阶阶等矩阵,使得其中，strstAmnPPPQQQErrPaPnmPnQQkQAA2.11对一个阶矩阵，下列条件互：定理相等价nA(1)nnA是可逆矩阵(2)()rankAn(3)de0tA(4)A可表示为有限个初等矩阵的乘积证明:(1)(2)(2)(3)(2)(4)(4)(1)11122.9,000rsstEPPPAQQQ由定理存在一系列初等矩阵使得A由于初等矩阵可逆，也可逆，左端矩阵可逆则右端矩阵可逆，右端不可能有零行向量,()nErnrankAn即右端矩阵（标准形）为,则即证(1)(2)1112sstnPPPAQQQE1111111121sstAPPPQQQ又初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵A可表示为初等矩阵的乘积()rankAn证明(2)(4):(4)1)(AA若有限个初等矩阵的乘积，而初等矩阵是可逆的，它们的乘积也是可逆的，所以可逆。82.,AmnmPPA设为矩阵，则存在阶可逆矩阵使为定理阶梯形矩阵2.9mnmnmmnnABPQPAQB和等价的充分必要条件是存在两个可逆矩阵和，使得定理()000mmnnrrankArCCECAC，若则存在两可逆矩阵别地和得特，使求逆矩阵的实用方法：1111111121sstAPPPQQQ可逆矩1121stAQQQPP1121()()tsQQQPPAEEA1()()AEEA行变初等换1.A若变换过程出现零行向量不存在2413311323322231001231004580100344103460010330110020010020001211111011110233110001rrrrrrrrrrAAAE123求的逆矩阵.其中=例458346(1)223(1)31123100200100200001103400034001123001123200034012rrrrA11111121211rank()=,rank()=2.12()min)=(,()AmnBnpArBsmPnQEOEOPAQAPQOOOOEOEOABPPOOrankABrankArankBBBQBBOOrrrr设是矩阵，是矩阵，则证：设则存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵,使得=则定理1221112BBBPOO1112111211122.9,()()()()min{,}min{(),()}BBOOBBABOOBBrankABrankrOOrankABsrankABrsrankAranBrkr至多有行非零，其秩不超过.由定理与等价则同样可证明则2.32.42.5det(,)1,det(),det(,)1detdetdet(,2.13det()det())det,ddet()(,)()et()对任意阶矩阵和，则证明:首先，若为，则由定理,，，有（）（）同样有：（）定理初等矩阵（）nABAEijEikkABABEijBEikEjkiBEiBjBk(,detdet()det,det()detdet(,)det.)（）（）所以，当为初等矩阵时，结论成立。（）EjkiBEikBBABEjkiB12121212detdetdetdet;detdet()detdetdetdetdetdet()d可逆矩阵不可逆矩阵其次，若为，则可表示为初等矩阵的乘积，利用数学归纳法可证明：最后，若为，则有，ssssAAAPPPAPPPABPPPBPPPBABArankAnet02.12()()det0.，再由定理，知，即所以，结论成立。ArankABrankAnAB111,(