新课标2017春高中数学第2章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5

数学必修5·人教A版新课标导学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式1课前自主学习2课堂典例讲练3课时作业课前自主学习汉朝的天文著作《周髀算经》中有记载，大意如下：在平地上立八尺高的土圭，日中测影，在二十四节气中，冬至影长1丈3尺5寸，以后每一节气影长递减9寸916分；夏至影最短，仅长1尺6寸，以后每一节气影长递增9寸916分．如果把这些影长记录下来，会构成一个什么样的数列呢？1．观察下列各组数据：(1)有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位：cm)依次为16,32,48,64,80,96,112,128，…，320.(2)鞋的尺码，按照国家规定，有：22,22.5,23,23.5,24,24.5，…(3)奥运会每4年举行一届，2008年在北京举行，此后的奥运会举办年份依次为：2012,2016,2020，….思考：(1)它们构成数列吗？(2)算一算从第2项起每项与它的前一项的差，你发现了什么？(3)从这些数列中任取一项，如果它既有前项又有后项，算一算它与前后项之间具有什么关系？(4)你能用一个递推关系式来表示它们吗？2．等差数列的定义是怎样的？对于等差数列定义的理解应注意什么？定义：一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的________等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．若公差d＝0，则这个数列为常数列．(1)“从第2项起”也就是说等差数列中至少含有三项．(2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差”．(3)“同一个常数d”，d是等差数列的公差，即d＝an－an－1，d可以为零，当d＝0时，等差数列为常数列，也就是说，常数列是特殊的等差数列．(4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．2差3．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为________________.你会推导吗？提示：∵数列{an}是等差数列，∴an－an－1＝d，an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d，…，a2－a1＝d.以上各式的左、右两边分别相加，得an－a1＝(n－1)d，∴an＝a1＋(n－1)d.an＝a1＋(n－1)d注意：(1)如果将通项公式an＝a1＋(n－1)d看成关于n的函数，其图象是一条直线上的一群孤立点．这条直线的斜率为d，截距为a1－d.(2)公式中有四个量，即an，a1，n，d.已知其中任意三个量，通过解方程都可求得剩下的一个量．(3)等差数列的通项公式可推广为an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．由此可知已知等差数列的任意两项，就可求出其他的任意一项．4．等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，即A＝________.注意：在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1；实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m、n∈N*，mn)．a＋b21．下列数列是等差数列的是导学号54742247()A．13，15，17，19B．1，3，5，7C．1，－1,1，－1D．0,0,0,0[解析]∵15－13≠17－15，故排除A；∵3－1≠5－3，故排除B；∵－1－1≠1－(－1)，故排除C，∴选D．D2．(2016·湖北武汉第一中学期中)2＋1与2－1的等差中项是导学号54742248()A．1B．－1C．2D．±1[解析]设等差中项为x，由等差中项的定义知x＝2＋12－12＝2.C3．等差数列{an}中，a3＝5，a7＝13，则通项公式an＝________.导学号547422492n－1[解析]设数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意，得a1＋2d＝5a1＋6d＝13，解得a1＝1d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.课堂典例讲练命题方向1⇨等差数列的判断与证明判断下列数列是否为等差数列.导学号54742250(1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n.[分析]本题考察判断数列是否是等差数列，即判断an＋1－an(n∈N*)是否为同一个常数．[解析](1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，∴数列{an}是等差数列．(2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，∴数列{an}不是等差数列．『规律总结』定义法是判定数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an＋1－an；(2)对差式进行变形；(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．〔跟踪练习1〕导学号54742251已知数列的通项公式为an＝6n－1，问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？[解析]∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)，∴{an}是等差数列，其首项a1＝6×1－1＝5，公差为6.命题方向2⇨等差数列的证明已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋ca，c＋ab，a＋bc也成等差数列.导学号54742252[分析]由于所求证的是三个数成等差数列，所以可用等差中项来证明．[证明]∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c，则b(a＋c)＝2ac，∴ac＝ba＋c2∴b＋ca＋a＋bc＝b＋cc＋a＋baac＝ba＋c＋a2＋c2ac＝2ac＋a2＋c212ba＋c＝2a＋cb，即b＋ca，c＋ab，a＋bc也成等差数列．『规律总结』证明一个数列是等差数列常用的方法有：①利用定义法，即证an＋1－an＝常数；②利用等差中项的概念来进行判定，即证2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．〔跟踪练习2〕导学号54742253若1b＋c，1a＋c，1a＋b成等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．[证明]由已知得1b＋c＋1a＋b＝2a＋c，即2b＋a＋cb＋ca＋b＝2c＋a.即(2b＋a＋c)(c＋a)＝2(b＋c)(a＋b)．∴a2＋c2＝2b2，∴a2，b2，c2成等差数列．命题方向3⇨等差数列的通项公式在等差数列{an}中：导学号54742254(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.[分析]根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，由条件可建立关于a1、d的二元一次方程组解出a1、d.[解析](1)由题意知a1＋5－1d＝－1a1＋8－1d＝2，解得a1＝－5d＝1.(2)由题意知a1＋a1＋6－1d＝12a1＋4－1d＝7，解得a1＝1d＝2.∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17.『规律总结』1.构成等差数列的基本量是a1和d，根据已知条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而求出通项公式an＝a1＋(n－1)d.2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，应用an＝am＋(n－m)d较简便．〔跟踪练习3〕导学号54742255100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．[解析]∵a1＝2，d＝9－2＝7，∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，由7n－5＝100，得n＝15.∴100是这个数列的第15项．命题方向4⇨构造解题法已知数列{an}满足a1＝12，an＋1＝3an3－an，试探究{an}的通项公式.导学号54742256[分析]可用列举观察法求解；也可用变形构造法求解．[解析]将an＋1＝3an3－an变形为1an＋1－1an＝－13，令bn＝1an，则bn＋1－bn＝－13，∴数列{bn}构成等差数列，首项b1＝1a1＝2，公差d＝－13，∴bn＝b1＋(n－1)d＝2－13(n－1)＝7－n3，∴an＝37－n.『规律总结』(1)注意观察可以发现1an＋1－1an＝P(P为常数)可变形为an＋1＝anPan＋1.因此形如an＋1＝kanman＋k的数列可转化为等差数列求解．(2)在本章的许多问题中，需用构造法，构造一个新数列，使新数列成等差(或等比)数列，从而使原问题获得解决．〔跟踪练习4〕导学号54742257(2015·宁波高一检测)数列{an}满足a1＝1，a2＝23，且1an－1＋1an＋1＝2an(n≥2)，则an＝()A．2n＋1B．(23)n－1C．(23)nD．2n＋2A[解析]因为a1＝1，a2＝23，所以1a2－1a1＝32－1＝12.因为1an－1＋1an＋1＝2an(n≥2)，所以1an＋1－1an＝1an－1an－1(n≥2)．所以数列{1an}是首项为1，公差为12的等差数列．所以1an＝1＋12(n－1)＝n＋12，所以an＝2n＋1.已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且{an}为2,5,8，…，{bn}为1,5,9，…，它们的项数均为40，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？导学号54742258[错解]由已知两等差数列的前3项，容易求得它们的通项公式分别为：an＝3n－1，bn＝4n－3(1≤n≤40，且n≤N*)．令an＝bn，得3n－1＝4n－3，∴n＝2.∴两数列只有第2项数值彼此相同．[辨析]本题所说的数值相同的项，在各自数列中的序号不一定相同，只是在这两个数列中找数值相同的项．[正解]由已知两等差数列的前3项，容易求得它们的通项公式分别为：an＝3n－1，bm＝4m－3(m、n∈N*，且1≤n≤40,1≤m≤40)．令an＝bm，得3n－1＝4m－3，即n＝4m－23＝22m－13.令2m－1＝3t，∵(2m－1)∈N*为奇数，∴t∈N*且为奇数，∴m＝3t＋12，n＝2t.而1≤m≤40,1≤n≤40，∴1≤3t＋12≤40，1≤2t≤40，解得13≤t≤793，12≤t≤20.∴12≤t≤20.又t∈N*且为奇数，∴两数列中共有10个数值相同的项．[警示](1)注意等差数列的定义式an＋1－an＝常数，对任意允许自然数n都必须成立．(2)正确区分项．、项数．．、项的序号．．．．〔跟踪练习5〕导学号54742259已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)，判断{an}是否是等差数列．[错解]∵2an＋1＝2an＋3，∴an＋1－an＝32，故数列{an}是等差数列．[辨析]审题错误，没有注意条件n≥2.当n≥2时，an＋1－an＝32，这说明这个数列从第二项起，后一项与前一项的差为同一个常数，而a2－a1＝1≠32.漏审条件而误认为是等差数列．[正解]当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝32.但a2－a1＝1≠32，故数列{an}不是等差数列．1．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…那么81是它的第几项导学号54742260()A．12B．13C．14D．15[解析]an＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.C2．若数列{an}的通项公式为an＝－n＋5，则此数列是导学号54742261()A．公差为－1的等差数列B．公差为5的等差数列C．首项为5的等差数列D．公差为n的等差数列[解析]∵an＝－n＋5，∴an＋1－an＝[－(n＋1)＋5]－(－n＋5)＝－1，∴{an}是公差d＝－1的等差数列．A3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是________.导学号54742262[解析]a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3得：n＝46.464．(2016·广东江门一模){an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等