2021考研数学(高数)先行阶讲义

1让有理想的人更加卓越！2021考研数学先行阶讲义2让有理想的人更加卓越！精勤求学自强不息专题一极限计算..............................................................................................................3专题二导数定义及其计算............................................................................................12专题三导数的应用........................................................................................................23专题四不定积分............................................................................................................31附录：函数分类..............................................................................................................39目录3让有理想的人更加卓越！专题一极限计算一．概念1.数列极限【定义1】对于数列nx，若存在实数a，使得0，0N，当nN时，有|nxa|，则称数列nx收敛于a，记作limnnxa.2.函数极限【定义2】设函数()fx在0x的某去心邻域内有定义，若存在实数A，使得0，0，当0000,,xxxxx时，有()|fxA|，则称()fx在0x点处的极限值为A，记作0lim()xxfxA.在0x点的左极限:0lim()xxfxA0,0,使得当00xxx时,有|()|fxA.在0x点的右极限:0lim()xxfxA0,0,使得当00xxx时,有|()|fxA.左极限和右极限极限通常称为单侧极限．【定义3】设函数()fx在,,XX上有定义（X为某正数），存在实数A，使得0,0M，当xM时，有()|fxA|，则称当x时()fx的极限值为A，记作lim()xfxA.lim()xfxA：0，0M，当xM时，有()|fxA|lim()xfxA：0，0M，当xM时，有()|fxA|4让有理想的人更加卓越！精勤求学自强不息注：极限描述的是在自变量的某一变化过程中，函数值的变化情况.对于极限的定义，考生不需要太深入的理解，只需要了解极限的实际意义，分清楚七种极限过程即可：000,,,,,,nxxxxxxxxx.3.连续【定义4】设函数()fx在0x的某邻域内有定义，且00lim()xxfxfx，则称函数()fx在0x点处连续.设函数()fx在0x的某右邻域内有定义，且00lim()xxfxfx，则称函数()fx在0x点处右连续.类似地，我们还可以定义左连续.二.计算1.四则运算以函数极限的四则运算法则为例．设lim(),lim()xxfxAgxB，则有：lim[()()]xfxgxAB；lim()()xfxgxAB；()lim(0)()xfxABgxB.注：（1）数列极限的四则运算法则与函数极限的四则运算法则完全类似.（2）结合无穷小量和无穷大量的关系和性质，极限的四则运算法则可以有如下推广.,(),(),,(),,,100,(0),0,(0),0,010CaCCCCCCaa5让有理想的人更加卓越！【例1】（2001-2）213lim21xxxxx=.【答案】26.【例2】)1()34(lim22xxxx.【答案】0.【例3】(1997-2)求极限22411limsinxxxxxx.【答案】1.【例4】(1993-2)求2lim(100)xxxx.【答案】50.2.等价无穷小替换【定理】设在x时，()~()xx，则有()()lim()()lim()(),limlim()()xxxxgxgxfxxfxxxx.注：（1）等价无穷小替换在极限计算过程中一般起辅助与简化的作用，它与洛必达法则连用可以简化计算.（2）只有整个式子的乘除因子才能用等价无穷小替换，有加减时不能替换.6让有理想的人更加卓越！精勤求学自强不息（3）常见的等价无穷小：当0x时，21(1)1~sin~arcsin~tan~arctan~ln(1)~1~~ln11cos~2xaxaxxxxxxxeaaxx【例5】(2007-1234分)当0x时，与x等价的无穷小量是（）.（A）1ex.（B）1ln1xx.（C）11x.（D）1cosx.【答案】（B）.【例6】)1(lim1xxex.【答案】1.【例7】32324arctan)21ln(limxxx.【答案】314.【例8】计算极限201sin1lim1xxxxe.7让有理想的人更加卓越！【答案】12.【例9】(1995-2)求01coslim1cosxxxx.【答案】12.【例10】(2009-3)cos320lim11xxeex.【答案】32e.3.洛必达法则（1）xa情况设(),()fxgx满足ⅰ）lim()lim()0xaxafxgx或lim(),lim()xaxafxgx,ⅱ）(),()fxgx在a的某去心邻域内可导且'()0gx,ⅲ）''()lim()xafxgx存在或为或,则有''()()limlim()()xaxafxfxgxgx.（2）x情况设(),()fxgx满足ⅰ）lim()lim()0xxfxgx或lim(),lim()xxfxgx8让有理想的人更加卓越！精勤求学自强不息ⅱ）存在一个正数X,当||xX时有(),()fxgx可导，且'()0gxⅲ）''()lim()xfxgx存在或为或.则有''()()limlim()()xxfxfxgxgx.注：（1）在使用洛必达法则时一定要注意检验条件，三个条件缺一不可，否则很容易得到错误结果；（2）与等价无穷小量结合使用通常可以简化计算.【例11】(2007-2)30arctansinlimxxxx__________.【答案】16.【例12】(2005-3)求).111(lim0xexxx【答案】32.【例13】(1999-1)2011limtanxxxx.【答案】13.【例14】201limlnln_______.lnxxxx9让有理想的人更加卓越！【答案】0．【例15】(2008-3)求极限201sinlimlnxxxx.【答案】16.【例16】._______11ln21lnlimxxx【答案】ln2．【例17】(2010-3)设1010()ln,(),()xfxxgxxhxe,则当x充分大时有（）.（A）()()()gxhxfx.（B）()()()hxgxfx.（C）()()()fxgxhx.（D）()()()gxfxhx.【答案】（C）.4.幂指函数处理幂指函数()()vxux的通用思路是用()()=exp()ln()vxuxvxux进行变形.【例18】求极限1limxxx.【答案】1.10让有理想的人更加卓越！精勤求学自强不息【例19】计算极限ln(1)0lim(sin)xxx.【答案】1.【例20】求极限xxx20)]1ln(1[lim.【答案】2e.【例21】计算极限123lim()21xxxx.【答案】e.【例22】（1990-1）设a是非零常数，则________)(limxxaxax.【答案】2ae.5.单侧极限lim()xafx存在当且仅当lim()xafx与lim()xafx存在且相等.lim()xfx存在当且仅当lim()xfx与lim()xfx存在且相等.【例23】||sinlim0xxx=（）.（A）1.（B）1.（C）0.（D）不存在.11让有理想的人更加卓越！【答案】（D）.【例24】.________1cotarc1arctanlim0xxx【答案】.2π【例25】（1992-1,2）当1x时，函数11211xexx的极限（）.（A）等于2.（B）等于0.（Ｃ）为.（Ｄ）不存在但不为.【答案】（D）.6.连续性【例26】设,01cos()2,0xxxfxx，讨论()fx在0x点的连续性.【答案】右连续、非左连续.【例27】（2002-2）设函数tan21,0arcsin()2,0xxexxfxaex在0x处连续，则a_____．【答案】2a.12让有理想的人更加卓越！精勤求学自强不息专题二导数定义及其计算一．导数的定义1．一点处导数的定义【定义2.1】设函数()fx在0x的某邻域内有定义，给自变量x在0x处加上增量x，相应的得到因变量y的增量00()()yfxxfx.若极限0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则称函数在0x处可导，该极限值称为函数在0x处的导数，记作''00(),()fxyx或0|xxdydx.导数的定义式还可以写成0'000()()()limxxfxfxfxxx.注：（1）导数的几何意义：0()fx表示曲线()yfx在点x0,f(x0)处切线的斜率；（2）导数的本质是极限，检验一个函数在一点是否可导或需要计算其导数最本质的方法就是计算极限000()()limxfxxfxx或000()()limxxfxfxxx.【定义2.2】设函数()fx在0x的某左邻域内有定义，若极限000000()()()()limlimxxxfxxfxfxfxxxx存在，则称()fx在0x处的左导数存在，该极限值称为函数()fx在0x处的左导数，记作'0()fx.类似地，可以定义函数()fx在0x处的右导数'0()fx.注：函数()fx在0x的导数存在的充要条件是该点的左右导数存在且相等.13让有理想的人更加卓越！2．导函数（1）开区间内可导：若函数()fx在开区间(,)ab上每一点都可导，则称()fx在开区间(,)ab内可导.（2）闭区间上可导：若函数()fx在开区间(,)ab上可导，且在xa处存在右导数，在xb处存在左导数，则称()fx在闭区间[,]ab上可导.【例1】利用定义计算下列函数的导数（1）()xfxe（2）f(x)lnx（3）()nfxx（4）()sinfxx（5）()cosfxx【例2】求下列函数()fx的(0)f及(0)f，又(0)f是否存在?（1）()||fxx（2）0)1ln(0sin)(xxxxxf（3）0001)(1xxexxfx14让有理想的人更加卓越！精勤求学自强不息【答案】（1）(0)1,(0)1ff，