上海高一函数的奇偶性的典型例题

1专题二函数奇偶性一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义．奇偶函数图象的特征定理f(x)为奇函数等价于f(x)的图像关于原点对称点（x,y）→（-x,-y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。函数的奇偶性的典型例题一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(xf的定义域内任意一个x：⑴)()(xfxf)(xf是偶函数；⑵)()(xfxf)(xf奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质2①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；③、可逆性：)()(xfxf)(xf是偶函数；)()(xfxf)(xf奇函数；④、等价性：)()(xfxf0)()(xfxf)()(xfxf0)()(xfxf⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(xf是否与)(xf、)(xf相等，判断步骤如下：①、定义域是否关于原点对称；②、数量关系)()(xfxf哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性⑴、xxxf2)(3⑵、2432)(xxxf⑶、1)(23xxxxf⑷、2)(xxf2,1x⑸、xxxf22)(⑹、2211)(xxxf例2：判断函数)0()0()(22xxxxxf的奇偶性。第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。3命题1函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。命题2两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。命题3f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。命题4如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。命题5函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。命题6已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。命题7已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。五、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征例1：已知偶函数)(xfy在y轴右则时的图像如图（一）试画出函数y轴右则的图像。七、关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函数值例1：已知8)(35bxaxxxf且10)2(f，那么)2(f2、利用奇偶性比较大小例2：已知偶函数)(xf在0,上为减函数，比较)5(f，)1(f，)3(f的大小。2-111-2XY图（二）0121XY图（一）43.利用奇偶性求解析式例3：已知)(xf为偶函数时当时当01,1)(,10xxxfx，求)(xf的解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性例4：若3)3()2()(2xkxkxf是偶函数，讨论函数)(xf的单调区间？5、利用奇偶性判断函数的奇偶性例5：已知函数)0()(23acxbxaxxf是偶函数，判断cxbxaxxg23)(的奇偶性。6、利用奇偶性求参数的值例6：定义在R上的偶函数)(xf在)0,(是单调递减，若)123()12(22aafaaf，则a的取值范围是如何？7、利用图像解题例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式0xf的解是.8.利用定义解题例8.已知函数1().21xfxa，若fx为奇函数，则a________。