应用多元统计分析第二章习题解答

2.1试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。设𝐗=(X1,X2，⋯Xp)′是p维随机向量，称由它的q（p）个分量组成的子向量𝐗(i)=(Xi1,Xi2，⋯Xiq)′的分布为𝐗的边缘分布，相对地把𝐗的分布称为联合分布。当𝐗的分布函数为F(x1,x2，⋯xp)时，𝐗(1)的分布函数即边缘分布函数为F(x1,x2，⋯xp)=P(𝐗1≤x1,⋯𝐗q≤xq,𝐗q+1≤∞,⋯𝐗p≤∞)=F(x1,x2，⋯xq,∞,⋯∞)当X有分布密度f（x1,x2，⋯xp）则𝐗(1)也有分布密度，即边缘密度函数为：f（x1,x2，⋯xq）=∫⋯+∞−∞∫f（x1,x2，⋯xp）dxq+1⋯d+∞−∞xp2.2设随机向量𝐗=(X1,X2)′服从二元正态分布，写出其联合分布密度函数和X1,X2各自的边缘密度函数。联合分布密度函数12πσ1σ2(1−ρ2)1/2exp{−12(1−ρ2)[(x1−μ1)2σ12−2ρ(x1−μ1)(x2−μ2)σ1σ2+f(x1,x2)=(x2−μ2)2σ22]}，x10,x200,其他(x1−μ1)2σ12−2ρ(x1−μ1)(x2−μ2)σ1σ2+(x2−μ2)2σ22=(x1−μ1)2σ12−2ρ(x1−μ1)(x2−μ2)σ1σ2+(x2−μ2)2σ22+ρ2(x1−μ1)2σ12−ρ2(x1−μ1)2σ12=[ρ(x1−μ1)σ1−(x2−μ2)σ2]2+（1−ρ2）(x1−μ1)2σ12所以指数部分变为−12{[ρ(x1−μ1)√1−ρ2σ1−(x2−μ2)√1−ρ2σ2]2+(x1−μ1)2σ12}令t=(x2−μ2)√1−ρ2σ2−ρ(x1−μ1)√1−ρ2σ1∴dt=1√1−ρ2σ2dx2∴f(x1)=∫f(x1,x2)+∞−∞dx2=12πσ1σ2(1−ρ2)1/2exp{−(x1−μ1)22σ12∫exp(+∞−∞−12t2)1√1−ρ2σ2dt=1√2πσ1exp[−(x1−μ1)22σ12]1√2πσ1exp[−(x1−μ1)22σ12]，x10f(x1)=0，其他同理，1√2πσ2exp[−(x2−μ2)22σ22]，x20f(x2)=0，其他2.3已知随机向量𝐗=(X1,X2)′的联合分布密度函数为f(x1,x2)=2[(d−c)(x1−a)+(b−a)(x2−c)−2(x1−a)(x2−c)(b−a)2(d−c)2,其中,a≤x1≤b,c≤x2≤d。求：（1）随机变量各自的边缘密度函数、均值与方差。解：f(x1)=∫f(x1,x2)dx2dc=∫2[(d−c)(x1−a)+(b−a)(x2−c)−2(x1−a)(x2−c)(b−a)2(d−c)2dx2dc=2[(d−c)(x1−a)(b−a)2(d−c)2+(b−a)(b−a)2(d−c)2∫2(x2−c)dcdx2−2(x1−a)(b−a)2(d−c)2∫2(x2−dcc)dx2=1b−a同理，f(x2)=∫f(x1,x2)dx1ba=∫2[(d−c)(x1−a)+(b−a)(x2−c)−2(x1−a)(x2−c)(b−a)2(d−c)2dx1ba=1d−cbabadxabxxfxxE21111111同理可得22dcxEbabadxabbaxxdxfxExxD121221211112111同理可得1222dcxD（2）随机变量的协方差和相关系数。E(x1)=∫x1f(x1)dx1ba=∫x11b−adx1ba=b+a2E(x2)=∫x2f(x2)dx2dc=∫x21d−cdx2dc=d+c2E(x12)=∫x12f(x1)dx1ba=∫x121b−adx1ba=13(b2+ab+a2)E(x22)=∫x22f(x2)dx2dc=∫x221d−cdx2=dc13(d2+dc+c2)D(x1)=E(x12)−E(x1)2=112(b−a)2D(x2)=E(x22)−E(x2)2=112(d−c)2Cov(x1,x2)=E(x1x2)−E(x1)E(x2)E(x1x2)=∫dx1ba∫x1x2dcf(x1,x2)dx2=16(2b+a)(d+c)+16(2d+c)(b+a)−19(2b+a)(2d+c)∴Cov(x1,x2).=136(a−b)(d−c)∴ρ=Cov(x1,x2)√D(x1)D(x2)=136(a−b)(d−c)112(b−a)(d−c)=−13（3）判断是否独立。∵f(x1)f(x2)=1(b−a)1(d−c)≠f(x1,x2)∴x1,x2不相互独立。2.4设随机向量𝐗=(X1,X2，⋯Xp)′服从正态分布，已知其协差阵为对角阵，证明的分量是相互独立的随机变量。∵Σ=Σ𝟏𝟏Σ𝟐𝟐⋱ΣppΣij=0,i≠j∴xi与xj不相关又∵𝐗=(X1,X2，⋯Xp)′服从正态分布∴xi与xj相互独立。（i≠j，i，j=1，2，⋯，p）2.5解：依据题意，X=57000154020016214501227000144187503612000381219008450001528350813200190210001381200026E(X)=1n∑x(α)6α=1=(35650,12.33,17325,152.5)′D(X)=1n∑(x(α)6α=1−x̅)(x(α)−x̅)′=16799000032416.6732415.66710.888969768750−6140013925−29.8336976875013925−614000−29.83330478125−166562.5−166562.513912.583注：利用11pnn1XX,S1()nnnn11XIX其中1001nI在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：1.选择菜单项Analyze→DescriptiveStatistics→Descriptives，打开Descriptives对话框。将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。图2.1Descriptives对话框2.单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。图2.2Options子对话框3.单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。表2.1样本均值向量在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下：1.选择菜单项Analyze→Correlate→Bivariate，打开BivariateCorrelations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。图2.3BivariateCorrelations对话框2.单击Options按钮，打开Options子对话框。选择Cross-productdeviationsandcovariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。图2.4Options子对话框3.单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出相关分析表，见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，PearsonCorrelation为皮尔逊相关系数矩阵，SumofSquaresandCross-products为样本离差阵。）2.6均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？1．()EXμ，即X是μ的无偏估计；11()nEnnSΣ，即1nS不是Σ的无偏估计，而1()1EnSΣ，即11nS是Σ的无偏估计；2．X，11nS分别是μ，Σ的有效估计；3．X，1nS（或11nS）分别是μ，Σ的一致估计（相合估计）。()EXμlimn→∞E(1𝐧𝐒）=limn→∞E(1n−1𝐒）=Σ2.7试证多元正态总体的样本均值向量证明：E(𝐗̅)=E(1nΣX（α）)=1nE(ΣX（α）)=nμn=μD(𝐗̅)=D(1nΣX（α）)=1n2ΣD(X（α）)=1n2nΣ=Σn∴X̅~NP(𝛍,𝚺n)2.8试证多元正态总体NP(𝛍,𝚺)的样本协差阵1n−1𝐒为𝚺的无偏估计。证明：E(𝚺̂)=1nE[∑(𝐱𝐢ni=1−𝐱̅)(𝐱𝐢−𝐱̅)′]=1nE{∑[(𝐱𝐢ni=1−𝛍)−(𝐱̅−𝛍)][(𝐱𝐢−𝛍)−(𝐱̅−𝛍)]′}=1nE[∑(𝐱𝐢−𝛍)(𝐱𝐢−𝛍)′−𝐧(𝐱̅−𝛍)(𝐱̅−𝛍)′ni=1]=E[∑(𝐕(𝐱𝐢ni=1))−n𝐕(𝐱̅)]=1n(n𝚺−n×1n𝚺)=n−1n𝚺∵nn−1𝚺̂是𝚺的无偏估计，S=n𝚺̂∴1n−1𝐒为𝚺的无偏估计2.9设𝐗(𝟏),𝐗(𝟐),⋯𝐗(𝐧)是从多元正态总体NP(𝛍,𝚺)中独立抽取的一个随机样本，试求样本协差阵1n−1𝐒的分布。解：∵()~(,)apNXμΣ，na,,2,1且相互独立，则样本离差阵()()1()()~(1,)naapaWnSXXXXΣ，其中()11naanXX∴样本协差阵1n−1𝐒的分布为𝑊𝑝(1,𝚺)2.10设𝐗i(ni×p)是来自NP(𝛍,𝚺)的数据阵，i=1,2,⋯,k（1）已知𝛍𝟏=⋯=𝛍k=𝛍且𝚺1=⋯=𝚺k=𝚺，求𝛍和𝚺的估计。（2）已知𝚺1=⋯=𝚺k=𝚺，求𝛍𝟏，⋯，𝛍k和𝚺的估计。这道题我对自己的答案不是很确定。