(人教版)数学必修五：2.5《等比数列的前n项和》

2.5等比数列的前n项和第二章第1课时等比数列的前n项和1.如何用数学语言表述等比数列的定义？若__________，则称数列{an}为等比数列．2．等比数列的通项公式是：______________.3．等差数列{an}的前n项和公式是：______________.[答案]1.an＋1an＝q，其中n∈N*，q是非零常数2．an＝a1·qn－1(n∈N*)3.Sn＝na1＋an2＝na1＋12n(n－1)d1.等比数列前n项和公式已知数列{an}是等比数列，首项为a1，q为公比，则其前n项和公式为Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1.公式的推导：教材上的推导方法叫错位相减法，我们在这里介绍另一种方法．由等比数列的定义，得a2a1＝a3a2＝…＝anan－1＝q，根据等比的性质，得a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1＝Sn－a1Sn－an＝q，即Sn－a1Sn－an＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq⇒Sn＝a1－anq1－q＝a11－qn1－q.注意：(1)等比数列前n项和公式及通项公式中共有五个量a1、q、an、n、Sn，这五个量可“知三求二”．(2)利用等比数列的前n项和公式求和时，要特别注意公比q的取值，应当按q＝1和q≠1分别求解，如果其中含有参数不能确定时，必须进行分类讨论．已知a1＝27，a9＝1243，q0，求这个等比数列前5项的和．[分析]由a1，a9可求出q，再用等比数列前n项和公式求出S5.[解析]∵a1＝27，a9＝1243，∴q8＝124327＝138，又∵q0，∴q＝－13，∴S5＝a11－q51－q＝27[1－－135]1－－13＝613.2．等比数列前n项和公式与函数的关系当公比q≠1时，我们已经知道等比数列的前n项和公式Sn＝a11－qn1－q，它可以变形为Sn＝－a11－qqn＋a11－q，设A＝a11－q，上式可写成Sn＝－Aqn＋A，由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．反过来也成立．即数列{an}是非常数列的等比数列的充要条件是前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A，(A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N*)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数．等比数列{an}的前n项和Sn＝2×3n＋a，则a等于()A．3B．1C．0D．－2[答案]D[解析]数列{an}是非常数列的等比数列的充要条件是前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A，由此可知a＝－2.3．等比数列前n项和的性质(1)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列(注意这连续m项的和必须非零才能成立)．(2){an}为等比数列⇔Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0且q≠±1)．(3)Sn＋m＝Sm＋qmSn(q为公比)．(4)若项数n为偶数(n∈N*)，则S偶S奇＝q.在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若S10＝10，S30＝130，则S20的值为________．[答案]40[解析]由S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，得(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)，解方程得S20＝40或S20＝－30，∵S200，∴S20＝40.等比数列求和公式在等比数列{an}中，S3＝72，S6＝632，求an.[分析]已知等比数列前3项与前6项的和，求其通项，解答本题直接用前n项和公式，列方程组求解．[解析]∵S6≠2S3，∴q≠1，又∵S3＝72，S6＝632，∴a11－q31－q＝72，a11－q61－q＝632，整理，得1＋q3＝9，解得q＝2.将q＝2代入a11－q31－q＝72，得a1＝12，故an＝a1qn－1＝2n－2.[方法总结]对于等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1，q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1，q列方程组求解．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝22，则a1的值等于()A．－2B．－1C．1D．2[答案]D[解析]∵S5＝22，q＝－2，∴a1[1－－25]1－－2＝22，∴a1＝2.等比数列前n项和的性质设{an}是任意等比数列，它的前n项和、前2n项和与前3n项和分别为X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是()A．X＋Z＝2YB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZD．Y(Y－X)＝X(Z－X)[答案]D[解析]由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.又∵{an}是等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，即X，Y－X，Z－Y为等比数列，∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，整理得Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)．故选D．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝()A．2B．73C．83D．3[答案]B[解析]∵S6S3＝3，∴S6＝3S3，∴S6－S3S3＝2，∵S3，S6－S3，S9－S6成等比，∴S9－S6S3＝22，∴S9＝4S3＋S6＝7S3，∴S9S6＝7S33S3＝73，∴选B．错位相减法求数列的前n项和求数列12，34，58，716，…，2n－12n的前n项和．[分析]本题中的数列是由数列1,3,5,7，…与12，14，18，116，…的各项对应相乘得到的，前面的数列是等差数列，后面的数列是等比数列，可用错位相减法求和．[解析]设Sn＝12＋322＋523＋…＋2n－12n，①则2Sn＝1＋32＋522＋…＋2n－12n－1.②①－②，得－Sn＝－1－2(12＋122＋123＋…＋12n－1)＋2n－12n＝－1－2×121－12n－11－12＋2n－12n＝－1－2＋12n－2＋2n－12n＝－3＋2n＋32n，∴Sn＝3－2n＋32n.设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.[解析](1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22n＋1＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1，知Sn＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n·22n－1，①22·Sn＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋(n－1)22n－1＋n·22n＋1.②①－②，得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2].数列与函数的综合应用以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的点Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数y＝2x＋k的图象上，数列bn＝an＋1－an(n∈N*，b1≠0)．(1)求证：数列{bn}是等比数列；(2)设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值．[分析](1)本题考查等比数列与函数知识．先由点P(an，an＋1)在一次函数y＝2x＋k上，结合bn＝an＋1－an，求出bn与bn＋1之间的关系；(2)利用(1)中得到的结论求出Sn，Tn及其关系后利用S6＝T4，S5＝－9，求k的值．[解析](1)由题意，得an＋1＝2an＋k，bn＝an＋1－an，∴bn＝2an＋k－an＝an＋k，∴bn＋1＝an＋1＋k＝(2an＋k)＋k＝2(an＋k)．即bn＋1＝2bn.∵b1≠0，∴bn＋1bn＝2(n∈N*)，∴数列{bn}是以2为公比的等比数列．(2)由(1)，得bn＝an＋k及{bn}是公比为2的等比数列，得Tn＝b11－2n1－2＝b1(2n－1)，由bn＝an＋k得Tn＝Sn＋nk，∴Sn＝b1(2n－1)－nk.∵S6＝T4，S5＝－9，∴63b1－6k＝15b1，31b1－5k＝－9，解得k＝8.[方法总结]本题是等比数列与函数、方程组合的综合性问题．注意由bn＝an＋k可得b1＋b2＋…＋bn＝a1＋a2＋…＋an＋nk，即Tn＝Sn＋nk.已知f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，且a1，a2，a3，…，an组成等差数列(n为正偶数)，又f(1)＝n2，f(－1)＝n.(1)求数列的通项公式an；(2)试比较f(12)与3的大小，并说明理由．[解析](1)∵f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，f(1)＝n2，f(－1)＝n，∴f(1)＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2，f(－1)＝－a1＋a2－a3＋a4－…－an－1＋an＝n.由题意，得na1＋an2＝n2，n2d＝n.∴a1＋an＝2n，d＝2，∴2a1＋(n－1)×2＝2n，∴a1＝1，∴an＝2n－1.(2)∵f(12)＝12＋3×(12)2＋…＋(2n－1)×(12)n，∴12f(12)＝(12)2＋3×(12)3＋…＋(2n－3)×(12)n＋(2n－1)×(12)n＋1.以上两式左右两边分别相减，得12f(12)＝12＋2×(12)2＋2×(12)3＋…＋2×(12)n－(2n－1)×(12)n＋1，∴f(12)＝1＋2×(12)＋2×(12)2＋…＋2×(12)n－1－(2n－1)×(12)n＝1＋2×12[1－12n－1]1－12－(2n－1)×12n＝3－12n－2－(2n－1)×12n3，综上所述，f(12)3.等比数列前n项和公式的实际应用从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？[解析](1)第一年投入为800万元，第二年投入为800(1－15)万元，第n年的投入为800(1－15)n－1万元．所以，n年内的总投入为：an＝800＋800(1－15)＋…＋800(1－15)n－1＝4000－4000(45)n(万元)；第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400(1＋14)万元，第n年旅游业收入为400(1＋14)n－1万元．所以n年内的旅游业总收入为bn＝400＋400(1＋14)＋…＋400(1＋14)n－1＝1600(54)n－1600(万元)．(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an0，即1600(54)n－1600－4000＋4000(45)n0，化简得2(54)n＋5(45)n－70，设(45)n＝x，代入上式得5x2－7x＋20.解此不等式，得x25，或x1(舍去)，即(45)n25，由此得n≥5.答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．国家计划在西部地区退耕还林6370万亩，2004年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．(1)试问从2004年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128≈2.476,1.127≈2.211)(精确到年)(2)为支持退耕还林工作，国家财政从2005年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元．试问：西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付多少亿元？(精确到亿元)[解析]设从2004年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1，a2，a3，…，an，…万亩．则(1)a1＝515(1＋12%)，a2＝515(1＋12%)2，…，an＝515(1＋12%)n，…Sn＝a1＋a2＋…＋an＝5151＋0.121