平面结构问题的有限单元法

17.1平面应力问题第七讲平面结构问题的有限单元法返回全书目录7.2平面应变问题7.3平面问题的离散化7.4平面三结点三角形单元7.5ANSYS平面结构计算示例2严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态，因而都是空间问题，但是在一定条件下，许多空间问题都可以简化成平面问题。平面问题可以分为两类：平面应力问题和平面应变问题。图7-1平面问题应力状态第七讲平面结构问题的有限单元法37.1平面应力问题图7-2(a)平面应力问题如图所示的深梁结构，其厚度方向的尺寸远比其它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板。它只承受作用在其平面内的载荷，且沿厚度方向不变，计算时以中性面为研究对象。其力学特点是：,0,0,0zyyzzxxzz0z平面应力问题的应力应变转换矩阵即弹性矩阵为：。2100010112ED返回章节目录第七讲平面结构问题的有限单元法4图7-2(b)平面应变问题7.2平面应变问题图示为一圆形涵洞的横截面。其长度方向上的尺寸远比其它两个方向上的尺寸大得多，同样，载荷作用在xy坐标面内，且沿z轴方向均匀分布。其力学特点是：0,0,0yzxzx但一般情况下0z平面应变问题的弹性矩阵只需将式(4-1)中的E换成21E换成，1即可。)1(22100011011)21)(1()1(uED。返回章节目录第七讲平面结构问题的有限单元法5无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力与应变之间的关系均为：0DTxyyxTxyyx，其中：0为初应变。式中7.3平面问题的离散化(a)三结点三角形单元(b)四结点正方形单元(c)四结点矩形单元(d)四结点四边形单元图7-3平面问题单元的主要类型返回章节目录第七讲平面结构问题的有限单元法6图7-4(a)表示的是带有椭圆孔的平板，在均匀压力作用下的应力集中问题。图7-4(b)是利用结构的对称性，采用三结点三角形单元而离散后的力学模型，各单元之间以结点相连。(a)均匀受力板力学模型(b)力学模型离散化图7-4平面问题有限单元法的计算力学模型第七讲平面结构问题的有限单元法77.4平面三结点三角形单元7.1.1位移函数图7-5三角形单元如果把弹性体离散成为有限个单元体，而且单元很小时，就很容易利用其结点的位移，构造出单元的位移插值函数，即位移函数。65432110000001yxyxyxvyxu位移函数矩阵形式：返回章节目录第七讲平面结构问题的有限单元法8简写为：Mf由于位移函数适用于单元中的任意一点，所以带入3个结点的坐标后，得出结点处位移函数为64321100000011000000110000001mmmmjjjjiiiimmjjiiyxyxyxyxyxyxvuvuvu简写为：Ae}{第七讲平面结构问题的有限单元法9解出eA}{][1mjimjimjimjimjimjicccbbbaaacccbbbaaaA00000000000000000021][1其中，是三角形单元的面积，当三角形单元结点i、j、m按逆时针次序排列时，则有)(21)(2121mijmijimmjjiyxyxyxyxyxyx7.4.2形函数矩阵第七讲平面结构问题的有限单元法10jmmjimjmjimjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxam1111其中记号表示将i、j、m进行轮换后，可得出另外两组带脚标的a、b、c的公式。单元位移函数为结点位移的插值函数，即iiiimjimmmmjjjjiiiiiiiimjimmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbavycxbavuycxbauycxbauycxbauycxbau)(21])()()[(21)(21])()()[(21....(7-9)第七讲平面结构问题的有限单元法11)(21ycxbaNiiii令mjiNNN、、在式(7-10)中表示的称为形函数，于是位移函数表达式用形函数表示为：(7-10)mjiiimmjjiimjiiimmjjiivNvNvNvNvuNuNuNuNu、、、、(7-11)写成矩阵形式mmjjiimjimjivuvuvuNNNNNNvuf000000}{emjiINININ}]{[(7-12)第七讲平面结构问题的有限单元法12由几何方程知vuxyyxxyyx00}{将式(7-9)代入式(7-13)中，并求偏导数，得(7-13))()(21)(21)(21mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiixyyxvbvbvbucucucvcvcvcububub7.4.3单元的应力与应变第七讲平面结构问题的有限单元法13)()(21)(21)(21mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiixyyxvbvbvbucucucvcvcvcububub简写为：eB}]{[}{(7-14)mjimmjjiimjimjiBBBbcbcbccccbbbB00000021][由于[B]是常量，单元内各点应变分量也都是常量，这是由于采用了线性位移函数的缘故，这种单元称为常应变三角形单元。(7-15)第七讲平面结构问题的有限单元法14由弹性力学的物理方程可知，其应力与应变有如下关系：}{}{D(7-16)将式(4-14)代入式(4-16)，得eeSBD}]{[}]{][[}{(7-17)mjiSSSBDS]][[][式中(7-18)[S]称为应力转换矩阵，对平面应力问题，其子矩阵为iiiiiiibccbcbES2121)1(2][2(7-19)由式(7-17)看出，应力分量也是一个常量。在一个三角形单元中各点应力相同，一般用形心一点表示。其应变也可同样表示。第七讲平面结构问题的有限单元法15用虚功原理来建立结点力和结点位移间的关系式，从而得出三角形单元的刚度矩阵。(a)实际力系(b)虚设位移图7-6弹性体虚功原理的应用7.4.4三角形单元刚度矩阵第七讲平面结构问题的有限单元法16结点力列向量和应力列向量分别为TT}{mmjjiimjieVUVUVUFFFFT}{xyyx结点虚位移列向量和虚应变列向量为T******T****}{mmjjiimjievuvuvuT****}{xyyx用虚功原理建立三角形单元的虚功方程为tdxdyFee}{}{}{}{T*T*）（eB}]{[}{**TT*T*}{}{Be）（tdxdyBFeee}{][}{}{}{TT*T*）（）（由式(7-12)式知，代入式(7-20)得(7-20)第七讲平面结构问题的有限单元法17由于虚位移是任意的，等号两边可左乘1T*}{e，得tdxdyBFe}{][}{TetdxdyBDB}{][][Teek}{][(7-21)三角形单元的刚度矩阵可写成dxdytBDBkeTtBDBT(7-22)用分块矩阵形式表示mmmjmijmjjjiimijiiekkkkkkkkkk(7-23)第七讲平面结构问题的有限单元法第七讲平面结构问题的有限单元法18结构的平衡条件可用所有结点的平衡条件表示。假定i结点为结构中的任一公共结点，则该结点平衡条件为：iiPFiF——i结点的结点力列向量eieiiVUFe——围绕i结点所有单元的结点力的向量和——i结点的载荷列向量。iPiiiYXP7.4.5整体刚度矩阵第七讲平面结构问题的有限单元法19每个结点由两个平衡方程组成，若结构共有n个结点，则有2n个平衡方程。整个结构的平衡条件由式(7-24)求和得到，即：iniiniPF11i＝1，2，……nT2211T3211nnniniYXYXYXPPPPPP(7-26)KkFeeneinie11(7-27)其中，[K]为结构整体刚度矩阵；为结构的结点位移列向量。tdxdyBDBkKneeneT11(7-28)T2211T21nnnvuvuvu第七讲平面结构问题的有限单元法20将式(7-26)、式(7-27)代入式(7-25)中得PK(7-29)整体刚度矩阵也可按结点写成分块矩阵的形式：nnnjnninijiinjnjKKKKKKKKKKKKKKKKK2121222221111211(7-30)同杆系结构一样，整体刚度方程经过约束处理后，即可求出结点位移，进而求出所希望的应力场。第七讲平面结构问题的有限单元法217.5ANSYS平面结构计算示例7.5.1问题描述如图7-7所示长方形板ABCD，板厚0.04m，孔半径r=0.2m，E=210GPa，泊松比μ=0.3，约束条件：在长方形底边AD约束全部自由度,BC边施加垂直向下均布载荷g=10000000N/m。图7-7长方形板结构7.5.2ANSYS求解操作过程打开Ansys软件，在Ansys环境下做如下操作。返回章节目录第七讲平面结构问题的有限单元法22图7-8单元类型对话框（1）选择单元类型运行PreprocessorElementTypeAdd/Edit/Delete，弹出ElementTypes对话框，如图7-8所示。单击Add，弹出LibraryofElementTypes窗口，如图4-9所示，依次选择StructuralSolid，Quad8node82，单击OK。图7-9单元类型库对话框第七讲平面结构问题的有限单元法23在ElementTypes对话框中，如图7-10所示，单击Options，弹出如图7-11所示对话框，设置K3选项栏为Planestrsw/thk，设置K5选项栏为Nodalstress，设置K6选项栏为Noextraoutput。表示单元是应用于平面应力问题，且单元是有厚度的。图7-10单元类型对话框图7-11PLANE82单元选项设置对话框第七讲平面结构问题的有限单元法24（2）定义实常数运行PreprocessorRealConstantsAdd/Edit/Delete，弹出如图7-12所示对话框，点击Add，弹出如图7-13所示对话框，点击OK，弹出如图7-14所示对话框，在THK选项栏中设置板厚度为0.04m。设置完毕单击OK按钮。图7-12实常数对话框图7-13选择要设置实常数的单元类型图7-14PLANE82实常数设置第七讲