2016年高考试卷(山东卷)理科数学试题

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z满足232i,zz其中i为虚数单位，则z=（A）1+2i（B）12i（C）12i（D）12i【答案】B考点：注意共轭复数的概念.（2）设集合2{|2,},{|10},xAyyxBxxR则AB=（A）(1,1)（B）(0,1)（C）(1,)（D）(0,)【答案】C【解析】试题分析：}0|{yyA，}11|{xxB，则}1|{xxBA，选C.考点：本题涉及到求函数值域、解不等式以及集合的运算.（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A）56（B）60（C）120（D）140【答案】D考点：频率分布直方图（4）若变量x，y满足2,239,0,xyxyxì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22xy+的最大值是（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】C【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,22xy表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值210OC,故选C.考点：线性规划求最值（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A）1233π（B）1233π（C）1236π（D）216π【答案】C考点：根据三视图求体积.（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：直线a与直线b相交,则,一定相交,若,相交,则a,b可能相交，也可能平行,故选A.考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.（7）函数f（x）=（3sinx+cosx）（3cosx–sinx）的最小正周期是（A）2π（B）π（C）23π（D）2π【答案】B【解析】试题分析：2sin2cos2sin2663fxxxx,故最小正周期22T,故选B.考点：三角函数化简求值，周期公式（8）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cosm，n=13.若n⊥（tm+n），则实数t的值为（A）4（B）–4（C）94（D）–94【答案】B考点：平面向量的数量积（9）已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，3()1fxx；当11x时，()()fxfx；当12x时，11()()22fxfx.则f(6)=（A）−2（B）−1（C）0（D）2【答案】D【解析】试题分析：当12x时，11()()22fxfx,所以当12x时，函数()fx是周期为1的周期函数，所以(6)(1)ff，又因为函数()fx是奇函数，所以3(1)(1)112ff，故选D.考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性，灵活变换求得函数性质是解题的关键.（10）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是（A）y=sinx（B）y=lnx（C）y=ex（D）y=x3【答案】A【解析】试题分析：当sinyx时，cosyx，cos0cos1，所以在函数sinyx图象存在两点0,xx使条件成立，故A正确；函数3ln,,xyxyeyx的导数值均非负，不符合题意，故选A.考点：本题注意实质上是检验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.【答案】3考点：循环结构抓住结束点是关键.(12)若（ax2+1x）3的展开式中x3的系数是—80，则实数a=_______.【答案】-2【解析】试题分析：因为51025521551()()rrrrrrrTCaxCaxx，所以由510522rr，因此2525802.Caa考点：二项展开式（13）已知双曲线E1：22221xyab（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.【答案】2【解析】试题分析：易得2bA(c,)a，2bB(c,)a，所以22b|AB|a，|BC|2c，由2AB3BC，222cab得离心率e2或1e2（舍去），所以离心率为2.考点：把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.（14）在[1,1]-上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆22(5)9xy-+=相交”发生的概率为.【答案】34考点：直线与圆位置关系；几何概型概率（15）已知函数2||,()24,xxmfxxmxmxm其中0m，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.【答案】(3,)【解析】试题分析：由题意画出函数图像为图时才符合，要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根应24mmm解得m3，即(3,).考点：能够准确画出函数的图像是解决本题的关键.三、解答题：本答题共6小题，共75分。（16）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tantan2(tantan).coscosABABBA（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12()由()知2abc,所以2222222cos22abababcCabab311842baab，当且仅当ab时，等号成立.故cosC的最小值为12.考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理、基本不等式.17.（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（II）已知EF=FB=12AC=23AB=BC.求二面角FBCA的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）77所以//GH平面ABC.由0,0mBCmBF可得23230,330xyyz可得平面BCF的一个法向量3(1,1,),3m因为平面ABC的一个法向量(0,0,1),n所以7cos,7||||mnmnmn，所以二面角FBCA的余弦值为77.考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（18）（本小题满分12分）已知数列na的前n项和Sn=3n2+8n，nb是等差数列，且1.nnnabb（Ⅰ）求数列nb的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)nnnnnacb求数列nc的前n项和Tn.【答案】（Ⅰ）13nbn；（Ⅱ）223nnnT.考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法（19）（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.【答案】（Ⅰ）23（Ⅱ）分布列见解析，236EX(Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得1111104343144PX,31111211105124343434314472PX,31313112123112122524343434343434343144PX,32111132134343434312PX,323132125424343434312PX,32321643434PX，可得随机变量X的分布列为X012346P11445722514411251214所以数学期望15251512301234614472144121246EX.考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和期望(20)(本小题满分13分)已知221()ln,xfxaxxaRx.（I）讨论()fx的单调性；（II）当1a时，证明3()'2fxfx＞对于任意的1,2x成立.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析（2）当0a时，3/)2)(2)(1()(xaxaxxaxf。若20a，则12a，所以当)1,0(x或),2(a时，0)(/xf，函数)(xf单调递增；当)2,1(a时，0)(/xf，函数)(xf单调递减；若2a时，12a，0)(/xf，函数)(xf单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）知1a时，1213ln)2211(12ln)()(32322/xxxxxxxxxxxxxfxf，]2,1[x，令1213)(,ln)(32xxxxhxxxg，则)()()()(/xhxgxfxf，由01)(/xxxg可得1)1()(gxg当且仅当1x时取等号；又42623)(xxxxh，设623)(2xxx，则)(x在]2,1[上单调递减，且10)2(,1)1(，所以在]2,1[上存在0x使得),1(0xx时，)2,(,0)(0xxx时，0)(x，所以函数)(x在),1(0x上单调递增；在)2,(0x上单调递减，由于21)2(,1)1(hh，因此21)2()(hxh当且仅当2x取等号，所以23)2()1()()(/hgxfxf，即23)()(/xfxf对于任意的]2,1[x恒成立。考点：利用导函数判断单调性；分类讨论思想.（21）(本小题满分14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：222210xyabab＞＞的离心率是