1.2反比例函数k的几何意义(第4课时)

•1、什么是反比例函数？它的一般形式是什么？•2、反比例系数可以取哪些值，取值不同对图像有影响吗？•求反比例函数解析式的方法是什么？如果两个变量x、y之间的关系可表示为（k为常数，k≠0）的形式，那么，称y是x的反比例函数。k≠0,K值决定反比例函数图像所在象限，当k0，图像在第一、三象限；当k0，图像在第二、四象限待定系数法xky1.理解并掌握反比例函数中∣K∣的几何意义；2.能灵活运用∣K∣的几何意义求图形面积；3.能根据图形面积求出K值2、若点P(m,n)在反比例函数图像上，则mn=_xky1、若点P（2,3）在反比例函数的图像上，则k=xy6663、如图，S矩形ABCD=S△ABD=___S矩形ABCD与S△ABD有何关系？ADCB2363S△ABD=S矩形ABCD21xy64、如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线⑴若P的坐标是（-1,3）则PM=____,PN=____⑵若P的坐标是（-0.5，6），则PM=____,PN=____⑶若P的坐标是（x，y），则PM=____,PN=____.xyoMNp平面直角坐标系内任意一点P(x,y)P到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值即是P到y轴的距离是这点横坐的绝对值即是yx3160.5xyP(3,2)AoyxB2、若E(1，6)也在该图像上，则绿色矩形面积为（）EF（4，-1.5）3、若F(4，-1.5)在图像上，则黄色矩形面积为（）xy6-1.如图，点P(3，2)在反比例函数图像上则K=(),过P作PA⊥x轴，PB⊥y轴,则OA=(),PA=(),S矩形OAPB=（）xky6P(3,2)AoyxB32666例1、如图,点P是反比例函数图象上的一点,PA⊥x轴于A,PB⊥y轴于B.求长方形PAOB的面积。.xy2P(m,n)AoyxB解：S矩形PAOB=OA·PA===nmkOAPBSBAyxnmPxky矩形则垂足分别为轴的垂线轴分别作任意一点中、过反比例函数,,,,),(,1P(m,n)AoyxBAPOAnmk2、如图，连接OM，则knmAPOASOAP212121这就是反比例函数中K的几何意义1.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,则长方形ONPM的面积是多少？x3yxyoMNPx3y已知K值求面积注意：无论矩形图像在哪个象限，矩形面积都为正。2、若四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数的的图象过点B，则k的值为（）xkyB已知面积求K值注意：当图像在第一、三象限时，K0;当图像在第二、四象限时，K0、。kSOABC21正方形解：1k第二、四象限该反比例函数图象位于又0k1kyxoACAoyx4.观察图中各个三角形的面积，你有什么发现？xy43.如图，S矩形OAPB=____,S△OAP=.xyOAPPyBxy4反比例函数上一点P（x0，y0），过点P分别作PA⊥y轴，PB⊥X轴，垂足分别为A、B，则矩形AOBP的面积为；且S△AOP=S△BOP=。kyxk2k1.通过本节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑吗？2.你对自己本节课的表现满意吗？为什么？数缺形时少直觉，形少数时难入微．.__,,,,,,,,,,,,,,,)0(1,321111111则有面积分别为的记边结三点轴于交轴引垂线经过三点分别向的图像上有三点在如图SSSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCBAxxyA.S1=S2=S3B.S1S2S3C.S3S1S2D.S1S2S3BA1oyxACB1C1S1S3S2已知,点P是反比例函数图象上一点,作PA⊥x轴于A,若S△AOP是3，则这个反比例函数的解析式为（）xky谢谢大家，再见与的P(m,n)AoyxP(m,n)AoyxByxOABCFE九年级数学组P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB).(||||||,,,,)2(如图所示则垂足分别为轴的垂线轴分别作过矩形knmAPOASBAyxPOAPB过反比例函数图象上任一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A,B，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的。||21||||2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx则垂足为轴的垂线作过有上任意一点是双曲线设,,)1(:,)0(),(AxPkxkynmP过P作x轴的垂线，垂足为A,则它与坐标轴形成的三角形的面积是不变的，为：2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为1,则这个反比例函数的关系式是.PDoyxPyxOCxy22KSSK的面积不变性(0)kykx(0)2kk(0)kk注意：（1）面积与P的位置无关（2）当k符号不确定的情况下须分类讨论PQ0xy）（yx,P0xy）（yx,3、在双曲线上任一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴y轴围成矩形面积为12，求函数解析式__________。xky(X0)yxOxy12xy12或AoyxBS1S2xy3如图，A,B是双曲线上的点，分别经过A,B两点向X轴、y轴作垂线段，若.211SSS，则阴影4Oyxs1s2如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点P、Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色三角形）S2(绿色三角形）的面积大小关系是：S1____S2.PQ趁热打铁，大显身手（提高篇）∟∟=xyOP1P2P3P41234如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则1234PPPP，，，xy2yx（x0)123SSS，，123SSS．（x0)2yx3216思考：1.你能求出S2和S3的值吗？132.S1呢？1yxoBEACD若A(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0m3，点B的坐标(3，2)，过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C；过点B作直线BD∥y轴交x轴于点D，交直线AC于点E，当四边形OBEA的面积为6时，请判断线段AC与AE的大小关系，并说明理由。yBAxo如图，已知，A,B是双曲线上的两点，)0(kxky（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。（1）若A(2,3)，求K的值yBAxo（3）若A,B两点的横坐标分别为a,2a，线段AB的延长线交X轴于点C，若，求K的值C6AOCS.1,6)2(:xyxy解.3,22,3yxyx或解得).2,3(),3,2(BAAyOBxMNy=kx+1的图像交于A、B两点,点A的纵坐标是3.已知：如图,反比例函数与一次函数xy6（1）求这个一次函数的解析式（2）求△AOB的面积.变式练习如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=k/x的图象上，点P(m,n)是图象上任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E,F，拓展提高G若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S，写出S关于m的函数关系式．总结提高一个性质：反比例函数的面积不变性两种思想：分类讨论和数形结合yBAxo如图，已知，A,B是双曲线上的两点，)0(kxky（1）若A(2,3)，求K的值（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。CDEyBAxo如图，已知，A,B是双曲线上的两点，)0(kxky（1）若A(2,3)，求K的值（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。C(5,0)yBAxo如图，已知，A,B是双曲线上的两点，)0(kxky（1）若A(2,3)，求K的值（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求△OAB的面积。CDE2、正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点.AB⊥x轴于B,CD⊥y轴于D(如图),则四边形ABCD的面积为()（A）1（B）（C）2（D）1x3252DCBAOyx•例3.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，则面积S为多少？•解：因为点A与点C关于原点中心对称，设A（x,y），则C(-x,-y),过C点做CD垂直与X轴,垂足为D点所以ykxk()0yx1ABC21||212121kxyABOBSAOB21||212121kyxCDOBSBOC1221ABCSBOCAOBABCSSSD练习：1.（2010湖北孝感）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为.2.如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB。设AC与OB的交点为E，与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小，可得（）A.B.C.D.大小关系不能确定1yx3yxyxx10()AOESS12SS12SS12E3.如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，的面积为S，则（）A.S＝1B.C.S＝2D.4.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴于D，则四边形ABCD的面积为____________。yx1ABC12SS2ykxk()0yx2综合例4.如图，反比例函数(x0)与矩形OABC的边AB、BC交于F、E两点，且BE=CE，四边形OEBF的面积为21.求证：AF=BF2.求三角形OAF的面积3.求k的值xkyyxOABCFE例：如图，反比例函数(x0)与矩形OABC的边AB、BC交于F、E两点，且BE=CE，四边形OEBF的面积为21.求证：AF=BF;2.求三角形OAF的面积;3.求k的值解：1.连接OB，在矩形OABC中，∵BE=CE,∴又==S矩形OABC∴=S矩形OABC∵点F也在反比例函数图象上，∴∴∴AF=BF2.∵∴∵四边形OEBF的面积为2，∴yxOABCFExkyS⊿OCE=S⊿OBES⊿OCBS⊿OCE4121×S⊿OABS⊿AOF=S⊿OCE=41S矩形OABCS⊿AOF=S⊿BOFS⊿AOF=S⊿BOF=S⊿EOBS矩形OABCS⊿AOF=13.∵∴k=2S⊿AOF=1=1/2k过E,F点分别做X轴、Y轴的垂线，垂足分别为G、H，yxOABCFEGHO•因为点E、F在反比例函数图像上，所以矩形OCEG的面积等于矩形OHFA的面积，所以OC×CE=OA×AF,∵CE=BE,∴1/2BC×OC=OA×AF,又在矩形OABC中，OA=BC,OC=AB∴AF=1/2OC∴AF=1/2AB,∴AF=BF证法二：证明：设点E的坐标为（a,b），∵BC∥x轴，且BE=CE，∴B（2a，b）∵AB∥y轴，F点横坐标为2a，设纵坐标为y，∵点E和点F都在反比例函数图像上∴ab=k，2ay=k∴y=b，∴F是线段AB的中点，即AF=BF21yxOABCFE练习：•1.（2011湖北）如图，双曲线经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与轴正半轴的夹角，AB∥轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是.)0(2xxyD2.已知：直线AB过点A（m,0)B(0,n)(m0,n0)。反比例函数的图象与AB交于C、D两点。若,求n的值。yxABCDODOBCODAOCSSSxmy29n323131,32C323121312131)2(mmnxmyCnmmCNnCMmnCMmS