反比例函数与几何图形的面积(公开课)

反比例函数与几何图形的面积新思路教育教学目标：（1）理解和掌握反比例函数（k≠0）中k的几何意义（2）能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题教学过程：让学生自己尝试在反比例函数的图象上任取一点P(x、y)，过P点分别向X轴、Y轴作垂线，从而探究求出两垂线与坐标轴形成的矩形的面积及三角形的面积，从而探究所形成的矩形与三角形的面积与k的关系。xky教学重、难点：（1）重点：理解并掌握反比例函数中k的几何意义；并能利用它们解决一些综合问题（2）难点：学会从图象上分析、解决问题学情分析：（1）知识基础：本节课学习前，学生已经具有了函数概念的知识积累，在上一节课的学习中，学生已经掌握了反比例函数的概念。（2）学习方法：学生已经积累的学习函数的方法有：画图象，观察图像归纳函数性质，了解函数变化规律和函数的变换趋势等，通过设置问题让学生自主探究。反比例函数中“k”的几何意义xyO如图，是y=6/x的图象，点P是图象上的一个动点。1、若P(1，y)，则四边形OAPB的面积＝_________P(1,y)BBAAABAP(5,y)P(3,y)2、若P(3，y)，则四边形OAPB的面积＝_________6663、若P(5，y)，则四边形OAPB的面积＝_________结论：从双曲线上任意一点向x、y轴分别作垂线段，两条垂线段与两坐标轴所围成的长方形的面积=︱k︱.想一想：若P(x，y)，则四边形OAPB的面积＝____6反比例函数与矩形面积例1.如图，P是反比例函数的图象上一点，过P点分别向x轴、y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，求这个反比例函数的解析式。解：设P点的坐标为（x,y),则OA=x,AP=-y∵矩形OAPB的面积S=6∴OA×AP=6，即-xy=6∴这个反比例函数关系式为：P(x,y)AoyxBxy6思考：如果去掉上题图，将阴影部分的面积改为“过P点的垂线和两坐标轴所围成的矩形的面积为6”，本题该如何解决？P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB).(||||||,,,,)2(如图所示则垂足分别为轴的垂线轴分别作过矩形knmAPOASBAyxPOAPB过反比例函数图象上任一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A,B，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的。总结：k的绝对值的几何意义推广：反比例函数与三角形面积例2.如图，点A在反比例函数图象上，AB垂直于x轴，垂足为B.求⊿OAB的面积。解：设A点坐标为（x，y），∵点A在图象上∴xy=-8，︱xy︱=8∴421||||2121xyyxABOBSAOBxy8BoyxAxy8||21||||2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx则垂足为轴的垂线作过有上任意一点是双曲线设,,)1(:,)0(),(AxPkxkynmP过P作x轴的垂线，垂足为A,则它与坐标轴形成的三角形的面积是不变的，为：总结：k的绝对值的几何意义的推广PDoyx1.如图,点P是反比例函数图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为.xy212.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为1,则这个反比例函数的关系式是.PDoyxPyxOCxy22KSSK的面积不变性(0)kykx(0)2kk(0)kk注意：（1）面积与P的位置无关（2）当k符号不确定的情况下须分类讨论PQ0xy）（yx,P0xy）（yx,规律总结3、在双曲线上任一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴y轴围成矩形面积为12，求函数解析式__________。xky(X0)yxOxy12xy12或A.__,,,,,,,,,,,,,,,)0(1,.4321111111则有面积分别为的记边结三点轴于交轴引垂线经过三点分别向的图像上有三点在如图SSSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCBAxxyA.S1=S2=S3B.S1S2S3C.S3S1S2D.S1S2S3BA1oyxACB1C1S1S3S2AoyxBS1S2xy35、如图，A,B是双曲线上的点，分别经过A,B两点向X轴、y轴作垂线段，若.211SSS，则阴影4Oyxs1s2如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点P、Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色三角形）S2(绿色三角形）的面积大小关系是：S1____S2.PQ∟∟=综合提高：xyOP1P2P3P41234如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则1234PPPP，，，xy2yx（x0)123SSS，，123SSS．（x0)2yx3216思考：1.你能求出S2和S3的值吗？132.S1呢？1如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=k/x的图象上，点P(m,n)是图象上任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E,F，拓展提高若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S，写出S关于m的函数关系式．总结提高一个性质：反比例函数的面积不变性两种思想：分类讨论和数形结合练习：1.（2010湖北孝感）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为.2.如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB。设AC与OB的交点为E，与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小，可得（）A.B.C.D.大小关系不能确定1yx3yxyxx10()AOESS12SS12SS12E3.如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，的面积为S，则（）A.S＝1B.C.S＝2D.4.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴于D，则四边形ABCD的面积为____________。yx1ABC12SS2ykxk()0yx2