倒立摆-JP

自动化专业课程设计（二）题目：控制系统计算机辅助设计——基于状态观测器的倒立摆系统设计目的和要求：加强学生对控制理论及控制系统的理解，提高学生对控制系统的综合及设计技能，扩大学生的知识面，培养学生独立分析问题及解决问题的能力，为以后从事实际控制系统的设计工作打下基础。要求理论正确，设计合理、仿真数据准确。知识范围及与相关课程：本综合设计涉及的相关课程主要有自动控制原理、现代控制理论、运动控制、MATLAB语言及应用、系统仿真等。设计过程1、建立倒立摆的数学模型动力学数学模型（非线性微分方程形式）状态空间表达式（非线性）状态空间表达式（线性）状态空间表达式（线性）2、倒立摆的状态空间分析法设计采用状态反馈进行极点配置基于全维观测器，用状态反馈进行极点配置3、基于MATLAB的倒立摆系统仿真设计（MATLAB语言程序设计和SIMULINK模型建立）建立倒立摆的开环仿真模型，观察输出曲线设计状态反馈进行极点配置，分析曲线设计观测器和状态反馈进行极点配置，分析曲线4、总结，写出设计报告要求和评分平时成绩60%书面报告40%出勤40%上机表现40%结果演示20%程序设计70%结果分析30%第一部分：相关的理论基础——状态反馈及状态观测器无论在经典控制理论还是现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式。由于经典控制理论的数学模型为传递函数，因此只能由输出信号作为反馈量，即为输出反馈。现代控制理论是用系统内部的状态变量来全面地描述系统，所以常采用状态反馈。状态反馈能提供更丰富的状态信息和可供选择的自由度，可以使系统容易获得更为优异的性能。采用状态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配置，还是实现系统解耦和构成线性最优调节器的主要手段。一、状态反馈原r维输入m维输出的n阶系统的状态方程：状态反馈的基本结构：K—维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵BCAD++1nx1ru1my1rvnrKuDxCyuBAxxnr状态反馈闭环系统的状态空间表达式:若则：通过状态反馈阵的选择来改变闭环系统的特征值，从而获得系统所要求的性能。定理：状态反馈不改变受控系统的能控性，但不保证系统的能观性不变。DvxDKCyBvxBKAx)()(0DxCyBvxBKAx)(),,(0CBA控制系统的性能主要取决于系统极点在复平面上的分布。因此，系统综合的性能指标通常是给定一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。极点配置问题，就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在复平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。定理：采用状态反馈对受控系统任意配置极点的充要条件是原系统状态完全能控。极点的配置方法：方法1：变换成能控标准型方法2：阶数较低的控制对象，可直接计算其特征多项式二、极点配置),,(0CBA极点的配置方法1：变换成能控标准型步骤：1）将原系统变换成能控标准型，变换矩阵为TC),,(0cbA),,(0CBA2）对加入状态反馈增益阵此时系统的闭环特征多项式为),,(0cbA110nkkkK)()()()()(0011111kakakabKAIfnnnn3）要使闭环极点达到期望极点位置，必须满足即：由等式两边同次幂项系数相等得状态反馈增益阵4）根据线性变换前后状态反馈控制律的表达式得：)()(*ff)()()(0011111kakakannnn*01*1*1aaannn*iiiaak*11*11*00nnaaaaaaK1cTKK方法2：对于阶数较低的控制对象，可以直接计算其特征多项式设：系统的闭环特征多项式为比较等式两边同次幂的系数即可得到K的各取值。*01*1*11**)()()()(aaafbKAIfnnnnii110nkkkK三、状态观测器采用状态反馈能实现闭环系统的极点任意配置，还是实现系统解耦和构成线性最优调节器的主要手段。但系统的状态变量并不都是易于直接检测得到的，这样就提出状态观测或状态重构的问题，需要寻求一种能产生系统状态的方法。状态观测器的定义：设系统的状态矢量x不能直接检测。构造一个动态系统，以的输入u和输出y为其输入量，能产生一组输出量渐进于x，即：，则称为的状态观测器。状态观测器的存在条件：为满足，系统必须状态完全能观，或者其不能观子系统是渐进稳定的。状态观测器的结构：),,(0CBAˆ0xˆ0]ˆ[limxxt0ˆ0]ˆ[limxxtuBCA(A，B，C)y++xˆxˆyˆ状态观测器的开环结构渐近状态观测器：状态观测器的状态方程为：状态观测器的设计：状态逼近的速度取决于G的选择和(A-GC)的配置，通过对误差反馈阵G的设计，调节渐近于x的速度。uBCA(A，B，C)y++xˆxˆyˆG_yyˆuBA-GC(A，B，C)y++xˆxˆGxGCGyBuxAyyGBuxAxˆˆ)ˆ(ˆˆBuGyxGCAˆ)(xˆ四、带状态观测器的状态反馈系统闭环系统的基本特性：1、闭环极点设计的分离性2、传递函数矩阵的不变性3、观测器反馈与直接状态反馈的等效性ubA-GCy++xˆxˆGbA++xcKv第二部分：系统设计——基于状态观测器的倒摆系统设计倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例,一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。迄今人们对倒立摆的研究已经非常深入，我国已成功地实现了四级倒立摆的控制。在此，我们首先应用动力学方程建立一级倒立摆的非线性数学模型；采用小偏差线性化的方法在平衡点附近局部线性化得到线性化的数学模型；然后应用状态空间分析方法，采用状态反馈为倒立摆系统建立稳定的控制律；最后应用状态观测器实现倒立摆系统的稳定控制。一、一级倒立摆系统的数学模型系统的组成系统由小车、小球和轻质杆组成。倒摆通过转动关节安装在驱动小车上，杆子的一端固定在小车上，另一端可以自由的左右倒下。通过对小车施加一定的外部驱动力，使倒摆保持一定的姿势。小车质量；小球的质量；倒摆的杆长；重力加速度；表示倒摆偏离垂直方向的角度；f是小车受到的水平方向的驱动力；kgM0.2kgm1.0ml5.0981.0g本设计中所用到的各变量的取值及其意义：假设轨道是光滑的，忽略摆杆的质量，系统所受的外力包括小球受到的重力和小车水平方向的驱动力u。x(t)和θ(t)分别表示小车的水平坐标和倒摆偏离垂直方向的角度。一级倒立摆有两个运动自由度，一个沿水平方向运动，另一个绕轴线的转动。1、运动分析：),(GGyxXYFyFxGOL水平方向受到的合外力竖直方向受到的合外力通过受力分析，由牛顿第二运动定律，系统的运动满足下面的方程：x轴方向：),(GGyx小球受力分析示意图，其中表示小球的重心坐标uxdtdmxdtdMG2222sinlxxGcoslyGulxdtdmxdtdM)sin(2222umlmlxmM)(cos)(sin)(2小球的重心坐标满足整理后得小球的力矩平衡方程：(cos)(sin)(sin)xyFlFlmgl])(cos)(sin[222llxmxdtdmFGx])(sin)(cos[222llmydtdmFGy222cos(sincos)(cos)(sincos)mxmlmlml2(sin)sinmlmg整理可得：sincosmgmlxmXYFyFxGOLsinlxxGcoslyG最后得到倒立摆系统的动力学方程：umlmlxmM)(cos)(sin)(2sincosmgmlxm显然该系统为明显的非线性系统。但是对小车施加驱动力的目的是要保持小球在垂直方向的姿态，因此，我们关注的是小球在垂直方向附近的动态行为变化，为此将系统在该参考位置(θ＝0)附近进行线性化处理。2、模型转化(微分方程→状态方程)由倒摆系统的动力学模型，1z12zzxz334zxz可得到倒摆系统的状态方程：22111122142121121cos()sin(cossin)cos()(sin)cossincoszuzMmgzmlzzzmlzMmlddzzdtdtxxumlzzmgzzMmmzumlmlxmM)(cos)(sin)(2sincosmgmlxm取如下状态变量：3、状态方程的线性化：采用Jacobian矩阵线性化模型，最终得到系统的线性化状态方程为：01000()1000000101000MmgdzMlMlzudtmgMM假定系统的输出为倒摆的角度和小车的x轴坐标，则系统的输出方程为：10000010yCZzxx三、状态反馈的倒摆系统设计1、系统的开环仿真2、输出反馈设计方法通过反复的调整和研究增益k1、k2对于系统误差的敏感性，最终能够稳定系统。然而系统的动态性能远不能让人满意，对于k1=-50,k2=-2，系统只是临界稳定，它仍在新的参考点附近反复震荡。输出反馈的仿真结果：倒摆的角度小车的位置具体设计步骤如下：(1)系统可控性判别。应用可控性判别矩阵CM=ctrb(A,B)判别.(2)闭环系统的极点配置。根据系统的动态性能，确定闭环系统期望极点clp。(3)确定反馈增益。应用MATLAB的place函数Ks=place(A,B,clp),确定反馈增益Ks。3、状态反馈设计：Simulink结构图：仿真结果：状态反馈下状态变量的时间曲线具体设计步骤如下：（1）系统的可观性判别。应用可观性判别矩阵OM=obsv(A,C)判别可观性。（2）闭环极点配置。适当选择观测器的极点，使观测器的动态速度是系统的两倍以上，所观测器的极点op=2*clp。（3）指定极点的观测器增益G。同样应用place函数：G=place(A’,C’,op),G=G’。3、全维状态观测器下倒摆系统的设计与仿真系统方框图：xˆyˆxˆv－uu－－yxvB∫CAGB∫ACKsx线性模型与观测器模型状态变量的误差曲线