【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)圆的方程 理 北师大版

-1-第三节圆的方程1．掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．1．圆的定义、方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心C的坐标(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F0圆心坐标：－D2，－E2半径r＝D2＋E2－4F22．点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三个结论圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内．1．确定圆的方程需要几个独立条件？提示：由圆的标准方程(或一般方程)知：确定圆的方程需要三个独立条件．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？提示：不一定．当D2＋E2－4F0时，上述方程才表示圆；当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点－D2，－E2；当D2＋E2－4F0时，方程不表示任何图形．1．(教材习题改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析：选D圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．2．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析：选C将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线必定过圆心，而圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心坐标为(1,2)，且(1,2)在直线x－y＋1＝0上．3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是()A．－1a1B．0a1-2-C．－1a15D．－15a1解析：选A∵点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，∴(2a)2＋a25，解得－1a1.4．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是____________．解析：因为x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，所以a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＝5a2－8a2－4a＋4＝－3a2－4a＋40.解得－2a23.答案：－2，235．(教材习题改编)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为__________________．解析：设圆心坐标为(a,0)，依题意得(a－5)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，半径r＝－2＋1＝10，即圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：(x－2)2＋y2＝10考点一求圆的方程[例1](1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________________．(2)(2013·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________________．[自主解答](1)法一：由题知kAB＝2，A，B的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)．∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．则ba－4＝－12，2a－b－3＝0，解得a＝2，b＝1.∴C(2,1)，r＝|CA|＝－2＋－2＝10.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则2a－b－3＝0，－a2＋－b2＝r2，－a2＋－2－b2＝r2，解得a＝2，b＝1，r＝10，故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，则25＋4＋5D＋2E＋F＝0，9＋4＋3D－2E＋F＝0，2×－D2＋E2－3＝0，解得D＝－4，E＝－2，F＝－5.∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.-3-(2)由已知可设圆心为(2，b)，由22＋b2＝(1－b)2＝r2，得b＝－32，r2＝254.故圆C的方程为(x－2)2＋y＋322＝254.[答案](1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)(2)(x－2)2＋y＋322＝254【互动探究】本例(2)中“与直线y＝1相切”改为“圆心在y＝1上”，结果如何？解：∵圆过点O(0,0)和点(4,0)．∴圆心在直线x＝2上，又∵圆心在y＝1上，∴圆心的坐标为(2,1)，半径r＝－2＋－2＝5.因此，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.【方法规律】求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．求下列圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有b＝－4a，－a2＋－2－b2＝r2，|a＋b－1|2＝r，解得a＝1，b＝－4，r＝22.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3.与y＝－4x联立可得圆心为(1，－4)，所以半径r＝－32＋－4＋2＝22.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．则1＋144＋D＋12E＋F＝0，49＋100＋7D＋10E＋F＝0，81＋4－9D＋2E＋F＝0，解得D＝－2，E＝－4，F＝－95，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.法二：由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－13，则AB的中垂线方程为3x－y－1＝0.同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0.联立3x－y－1＝0，x＋y－3＝0，得x＝1，y＝2，-4-即圆心坐标为(1,2)，半径r＝－2＋－2＝10，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.考点二与圆有关的轨迹问题[例2](2013·新课标全国卷Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.[自主解答]由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23.若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则|QP||QM|＝Rr1，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得|3k|1＋k2＝1，解得k＝±24.当k＝24时，将y＝24x＋2代入x24＋y23＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1＝－4＋627，x2＝－4－627.所以|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝187.当k＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.综上，|AB|＝23或|AB|＝187.【方法规律】求与圆有关的轨迹方程的方法已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解：(1)法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，且kAC·kBC＝－1，所以yx＋1·yx－3＝－1，即x2＋y2－2x－3＝0.-5-因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝12|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32(x≠3且x≠1)，y＝y0＋02，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0＝2x－3，y0＝2y代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1).高频考点考点三与圆有关的最值问题1．与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题．2．高考中主要有以下几个命题角度：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题；(2)与圆上的点(x，y)有关的代数式的最值问题．例如，形如u＝y－bx－a型；形如t＝ax＋by型；形如(x－a)2＋(y－b)2型．[例3](1)(2013·重庆高考)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4B.17－1C．6－22D.17(2)(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．[自主解答](1)圆C1，C2的图象如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2，与x轴交于点P，连接PC1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C1′C2|，则|PM|＋|PN|的最小值为52－4.(2)设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|＝2，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为222－22＝22.[答案](1)A(2)22与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆-6-的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝y－bx－a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2