同济大学高等数学第七版1.2_数列的极限

目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束第一章一、数列极限的定义第二节数列的极限二、收敛数列的性质目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束如果按照某一法则，对每个nxnNnx，对应着一个确定的实数，这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列123,,,,,nxxxx就叫做数列，简记为数列.{}nx数列中的每一个数叫做数列的项，第n项叫做数列的一般项或通项。nx1、数列定义一、数列极限的定义目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例如注意：(1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取(2).数列是整标函数目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束(1)有界性数列{xn}有上界,即存在M,使xn≤M(n=1,2,…).数列{xn}有下界,即存在m,使xn≥m(n=1,2,…).2.数列的性质目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束有界有界有界无界有界判断下列数列目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束nx如果数列满足条件121,nnxxxx单调增加121,nnxxxx单调减少单调数列(2)单调性单调增加单调减少判断下列数列的单调性目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束单调增加无单调性无单调性目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束观察下列数列当n无限增大时，LL,,21LL,0从上面可以看出:当n时,无限地接近于1,数列(2)从原点的两侧无限地接近于0,一般项的变化趋势:数列(1)从的右侧3,24,35,46,57,68,71,nn1,21,41,81,16目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束3.数列极限的定义当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于一个确定的常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛于a,记为axnn=lim，或)(naxn如果数列没有极限，就说数列是发散的．目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例如,LL,1,,43,32,21nn1=nnxn)(1nnnxnn1)1(=)(1nLL,2,,8,4,2nnnx2=)(n1)1(=nnx趋势不定收敛发散目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过观察:当n无限增大时,1(1)1nnxn=无限接近于1.引例观察数列1(1){1}nnn当时的变化趋势.1nx=111(1)nnn=目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束11,10000nx有1,10000给定10000,n只要时1nx=111(1)nnn=,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有6110,nx有610,给定610,n只要时0,给定1([]),nN=只要时1.nx有成立目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束数列极限的精确定义axnn=lim，当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.或)(naxn目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束只要n无限增大，xn就会与1无限靠近。引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。注：0就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的N.目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.axnn=lim或)(naxn则称该数列的极限为a,定义:设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数(不论它多小)总存在正整数N,使得当nN时,不等式都成立，——数列极限的精确定义目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.数列极限的几何意义使得N项以后的所有项注：越小,表示与a接近得越好.axnn=lim目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束anNaanxn目的：lim0,nnnxaNnNaxa=要找到一个自然数使得时，有●●●●●●●●●目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束Naaa越来越小，N越来越大！nxn目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束例1.已知证明数列的极限为1.证:=1nx1)1(nnn,0欲使即只要1n因此,取,]1[=N则当Nn时,就有1)1(nnn故1)1(limlim==nnxnnnnN与有关,但不唯一.不一定取最小的N.注：例2.已知证明证:=0nx2)1(1=n11n,)1,0(欲使只要,11n即n取,]11[=N则当Nn时,就有,0nx故0)1()1(limlim2==nxnnnn故也可取][1=N也可由2)1(10=nnx.11N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取11=N机动目录上页下页返回结束例3.设,1q证明等比数列证:0nx欲使只要即亦即因此,取=qNlnln1,则当nN时,就有01nq故0lim1=nnq.lnln1qn的极限为0.机动目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束练习1用定义证明证明对于任意给定的要使只要取自然数则当时，有,所以注：0就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的N.23ba22abnabax二、收敛数列的性质证:用反证法.及且.ba取因,limaxnn=故存在N1,从而2banx同理,因,limbxnn=故存在N2,使当nN2时,有2banx1.收敛数列的极限唯一.使当nN1时,假设22abnabbxnbax223ab从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21NNN=取故假设不真!nx满足的不等式机动目录上页下页返回结束2.收敛数列一定有界.证:设取,1=,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxML=a1则有.),2,1(L=nMxn由此证明收敛数列必有界.,1axn有机动目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束收敛的数列必有界.有界的数列不一定收敛.无界的数列必发散.发散的数列不一定无界..)1(:nnx=反例3.收敛数列的保号性.若且时,有,)0(.)0(证:对a0,取推论:若数列从某项起)0(.)0((用反证法证明)机动目录上页下页返回结束内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限机动目录上页下页返回结束