平面向量讲义(知识点+例题)

一、向量的概念与线性运算考点一：向量及与向量相关的基本概念题型1.概念判析例1、判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向(2)若baba则,(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若ba，cb，则ca；(7)若ba//，cb//，则ca//(8)若四边形ABCD是平行四边形,则DABCCDB,A(9)ba的充要条件是||||ba且ba//；考点二:向量的加、减法题型1:考查加法、减法运算及相关运算律例2、化简)()(BDACCDAB题型2:结合图型考查向量加、减法例3、在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB，则PBC与ABC的面积之比是()A．13B．12C．23D．34例4、如图，在ΔABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA→=3a，CB→=2b，求CD→，CE→．ABCDE考点三:向量数乘运算及其几何意义题型1:三点共线问题例5、设21,ee是不共线的向量，已知向量2121212,3,2eeCDeeCBekeAB,若A、B、D三点共线，求k的值。例6、已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使PC→=mPA→+nPB→，且m+n=1。二、平面向量的基本定理与坐标表示考点一：平面向量基本定理题型1.利用一组基底表示平面内的任一向量例7、在△OAB中，OBODOAOC21,41，AD与BC交于点M，设OA=a，OB=b，用a,b表示OM。例8、若已知1e、2e是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是()A．1e与—2eB．31e与22eC．1e＋2e与1e—2eD．1e与21e例9、在△ABC中,已知AM︰AB=1︰3,AN︰AC=1︰4，BN与CM交于点P,且,ACABab,试用,ab表示AP考点二:平面向量的坐标表示与运算题型1:向量加、减、数乘的坐标运算例10、已知A（—2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且CACM3,CBCN2,求点M、N的坐标及向量MN的坐标.例11、若A(0,1),B(1,2),C(3,4)则AB2BC=例12、若M(3,-2)N(-5,-1)且21MPMN,求P点的坐标；考点三:向量平行的充要条件题型1:平行、共线问题例13、已知向量(1sin,1)a，1(,1sin)2b，若a∥b，则锐角等于（）A．30B．45C．60D．75例14、若向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线且方向相同，求x例15、已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及ABtOAOP，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。(2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由三、平面向量的数量积考点一：平面向量数量积的运算题型1.求数量积、求模、求夹角例16、23120oabab已知，，与的夹角为，求2212323abababab（）；（）；（）（）（）；4ab（）例17、12ababaab已知，，且与垂直，求与的夹角。题型2.利用数量积解决垂直问题例18、若非零向量、满足，证明:例19、在△ABC中，AB=(2,3)，AC=(1,k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值奎屯王新敞新疆例20、已知向量)1,1(a，),2(nb，若baba||，则n（）A．3B．1C．1D．3例21、知abc，，为ABC△的三个内角ABC，，的对边，向量(31)(cossin)AA，，，mn．若mn，且coscossinaBbAcC，则角AB，的大小分别为（）A．ππ63，B．2ππ36，C．ππ36，D．ππ33，考点2利用数量积处理夹角的范围题型1：求夹角范围例22、已知||2||0ab,且关于x的方程2||0xaxab有实根,则a与b的夹角的取值范围是()A.[0,6]B.[,]3C.2[,]33D.[,]6例23、设非零向量a=xx2,，b=2,3x，且a，b的夹角为钝角，求x的取值范围。例24、已知)2,(a，)2,3(b,如果a与b的夹角为锐角,则的取值范围是