1-2第一章 集合与常用逻辑用语(2015年高考复习)

第一章集合与常用逻辑用语第二节►►命题及其关系、充分条件与必要条件读教材·抓基础研考点·知规律拓思维·培能力高考这样考1.考查四种命题之间的关系，明确四种命题的构成形式，能运用所学知识判断命题或其等价命题的真假，多以填空题或选择题的形式考查．2.判断指定的条件与结论之间的关系或探求其结论成立时的条件等，一般以选择题、填空题的形式考查，有时融入到解答题中综合考查.备考这样做1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论．2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反．3.注意等价命题的应用.回扣教材扫除盲点D读教材·抓基础课本导读1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题．其中的语句叫真命题，的语句叫假命题．判断真假判断为真判断为假2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系．(2)四种命题的真假关系．①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的相同无关．充分条件必要条件．充要条件．疑点清源1．等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．2．集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．基础自评1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b解析逆命题只需将原命题的条件与结论交换即可．答案D2．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数解析“x＋y是偶数”的否定为“x＋y不是偶数”，“x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”．因此其逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.答案C3．设集合A，B，则A⊆B是A∩B＝A成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且A∩B⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．答案C4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：_______________________________________________________________________.解析原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．答案“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”5．下列命题中所有真命题的序号是________．①“ab”是“a2b2”的充分条件；②“|a||b|”是“a2b2”的必要条件；③“ab”是“a＋cb＋c”的充要条件．解析①由2－3⇒/22(－3)2知，该命题为假；②由a2b2⇒|a|2|b|2⇒|a||b|知，该命题为真；③ab⇒a＋cb＋c，又a＋cb＋c⇒ab，∴“ab”是“a＋cb＋c”的充要条件为真命题．答案②③探究悟道点拨技法Y研考点·知规律题型一四种命题及真假判断【例1】下列命题中正确的是()①“若a≠0，则ab≠0”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－312是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④【思维启迪】①先写出其否命题，再判断真假；②先写出其逆命题，再判断真假；③、④只需判断原命题的真假即可．听课记录①中否命题为“若a＝0，则ab＝0”，正确；②中逆命题不正确；③中，Δ＝1＋4m，当m0时，Δ0，原命题正确，故其逆否命题正确；④中原命题正确故逆否命题正确．【答案】B【规律方法】在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．变式思考1(1)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0(2)有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．解析(1)原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．原命题的逆命题为：若y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数．显然此命题为假．又∵逆命题与否命题同真假，∴否命题为假．(2)①的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；②的否命题为“不全等的三角形面积不相等”，为假命题；在③中，逆否命题与原命题同真假，易知原命题为真，则其逆否命题也为真命题，故③为真命题；④的逆命题为“三个内角相等的三角形不是等边三角形”，为假命题．故填①③.答案(1)C(2)①③题型二充分条件与必要条件的判定【例2】(2013·北京卷)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【思维启迪】利用以小推大的技巧，判断“谁推谁”，即可得正确选项．听课记录当φ＝π时，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，则曲线y＝－sin2x过坐标原点，所以“φ＝π”⇒“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”；当φ＝2π时，y＝sin(2x＋2π)＝sin2x，则曲线y＝sin2x过坐标原点，所以曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点⇒/φ＝π，所以“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件，故选A.【答案】A【规律方法】有关充分、必要条件的判断问题，必须准确理解充分条件、必要条件的含义，才能对其关系进行准确判断．常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，如本例中，由曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点，得到φ＝kπ(k∈Z)，很明显φ＝kπ(k∈Z)的范围比φ＝π大，即可快速得出结论．变式思考2(1)(2013·山东卷)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设集合A＝{x∈R|x－20}，B＝{x∈R|x0}，C＝{x∈R|x(x－2)0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析(1)由题可知q⇒綈p，而綈p⇒/q等价于p⇒綈q，但綈q⇒/p.故p是綈q的充分不必要条件．选A.(2)由题意得A∪B＝{x∈R|x0或x2}，C＝{x∈R|x0或x2}，故A∪B＝C，则“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．答案(1)A(2)C题型三充分条件与必要条件的应用【例3】已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．【思维启迪】(1)遇到不等式应首先化简，求出其解集的最简形式．(2)由非p与非q之间的关系可推得p与q之间的关系，原命题与逆否命题同真假．听课记录由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.∴綈p：x1或x5.又∵q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：xm－1或xm＋1.又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，∴m－1≥1，m＋1≤5.∴2≤m≤4.【规律方法】(1)充要条件可以渗入到数学各个分支题型灵活多变，但万变不离其宗，只要紧扣定义，结合其他知识，便可迎刃而解．(2)本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．变式思考3(1)已知p：－4x－a4，q：(x－2)·(x－3)0，且q是p的充分条件，则a的取值范围为________．(2)已知p：4x＋m0，q：x2－x－20，若p是q的一个充分不必要条件，则m的取值范围是________．解析(1)设q，p表示的范围为集合A，B则A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)．因为q是p的充分条件，则有A⊆B，则a－4≤2，a＋4≥3，所以－1≤a≤6.(2)∵4x＋m0，∴x－m4，∴p：x－m4.∵x2－x－20，∴x－1或x2.∴q：x－1或x2.∵p⇒q，∴－m4≤－1，∴m≥4.即m的取值范围是[4，＋∞)．答案(1)－1≤a≤6(2)[4，＋∞)名师微博●一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．●两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．●三种方法充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系．对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．拓展提伸提高能力T拓思维·培能力易混易错系列命题中条件与结论的否定错误【典例】写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．【错解】逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0，是真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y全不为0，是假命题；逆否命题：若x，y全不为0，则x2＋y2≠0，是真命题．【错解分析】错解主要是对原命题中结论的否定错误，“x，y全为0”的否定应为“x，y不全为0”，而不是“x，y全不为0”．【正解】逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0，是真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0，是真命题；逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0，是真命题．自主体验1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c23B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c23C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析本题考查原命题的否命题的写法．“a＋b＋c＝3”的否定是“a＋b＋c≠3”，“a2＋b2＋c2≥3”的否定是“a2＋b2＋c23”．原命题是“若p，则q”，则其否命题是“若綈p，则綈q”，故命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c23”．答案A2．(2014·南宁调研)设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充