函数基本性质经典例题

函数的基本性质组合卷1、已知56)(2mxxxf在区间),2[上是递增的，则)1(f的取值范围是（）A.35，+B.35，C.35，D.-，35解析：对称轴2122mabx24mmf11)1(),35[答案：A2、函数①|x|y，②x|x|y，③|x|xy2，④|x|xxy中，在)0,(上为增函数的有（）A、①和④B、②和③C、③和④D、②和④解析：（提示：首先将各函数表达式化简，然后予以判断）∵)0,(x，将各函数式化简，即①xy，②1y，③xy，④1xy。由增函数的定义，易知③和④是增函数。答案：C3、函数x21xy的最大值为（）。A.0B.12C.1D.32解析：函数的定义域为x21yxy,21x|x及均在]21,(上单调递增。∴]21,(x21xy在上单调递增，x21xy,2121f)x(f的最大值为21。答案：B4、若函数)ax()1x(y为偶函数，则a等于（）A、2B、1C、1D、2解析：∵ax)a1(x)ax)(1x(y2，函数y是偶函数，)x(f)x(f，∴0a1，∴a=1。答案：C5、设函数)x(fy为奇函数，若3)2(f)1(f3)1(f)2(f，则)2(f)1(f（）。A.-1B.-2C.-3D.0解析：由)x(f是奇函数得，)2(f)2(f，3)2(f)1(f3)1(f)2(f),1(f)1(f，3)2(f)1(f答案：C6、若定义在R上的函数)x(f满足：对任意Rx,x21有1)x(f)x(f)xx(f2121，则下列说法一定正确的是（）A、)x(f为奇函数B、)x(f为偶函数C、1)x(f为奇函数D、1)x(f为偶函数解析：令0xx21，得1)0(f2)0(f，所以1)0(f。令12xx，得1)x(f)x(f)0(f11，即1)x(f1)x(f11。所以1)x(f为奇函数。答案：C7、已知)x(f在R上是奇函数，且满足)x(f)4x(f，当)2,0(x时，2x2)x(f，则)7(f=（）A、2B、2C、98D、98解析：)x(f)4x(f，∴212)1(f)1(f)87(f)7(f,4T2。答案：A8、如果函数)x(fy的图象与x23y的图象关于坐标原点对称，则)x(fy的表达式为（）A、3x2yB、3x2yC、3x2yD、3x2y解析：解析一：∵)1,1(M在x23y的图象上，点M关于原点的对称点)1,1(N只满足A、B、C、D中的3x2y，故选D。解析二：根据)x(fy关于原点对称的关系式为)x(fy来求解。∵x23y)x(fy与的图象关于原点对称，又x23y与x23y的图象关于原点对称，3x2)x(f，故选D。答案：D9、函数)x(fy在]7a2,1a[x上为奇函数，则a（）。A.-1B.-2C.-3D.0解析：定义域关于原点对称，即2a),1a(7a2。答案：B10、设函数)x(fy定义在实数集上，则函数)x1(fy)1x(fy与的图象关于（）A、直线y=0对称B、直线x=0对称C、直线y=1对称D、直线x=1对称解析：解题过程：函数)x(fy)x(fy与的图象关于y轴对称，)]1x([f)x1(fy。把)x(fy)x(fy与的图象同时都向右平移一个单位，就得到)x1(fy)1x(fy与的图象，对称轴y轴向右平移一个单位得直线1x，故选D。方法总结：此类问题通常有如下三种求解方法：①利用函数的定义求解；②通过平移坐标轴的方法求解；③特殊化法求解，即抽象函数具体化，然后通过图象变换找到答案。其具体变换程序是（就本题而言）：由)1x(fy)x(fy；再由)x(fy)x(fy)]1x([f)1x(fy。至此由图象关系找到答案。答案：D11、已知对任意x、Ry，都有2yxf2yxf2)y(f)x(f，且0)0(f，则)x(f（）A、是奇函数B、是偶函数C、既是奇函数又是偶函数D、无法确定)x(f的奇偶性解析：函数)x(f的定义域为R，则令0y,0x，则2)]0(f[2)0(f2，而0)0(f，∴1)0(f，再令xy，则)x(f2)0(f)x(f2)x(f)x(f，∴)x(f)x(f，∴)x(f为偶函数，故选B。答案：B12、)x(f为偶函数，在),0[上为减函数，若)3(f021f，则方程0)x(f的根的个数为（）A、2个B、2个或1个C、2个或无数个D、无数个解析：由)x(f为偶函数且在),0[上是减函数，有]0,()x(f在上是增函数，又)3(f021f，∴21f0)3(f，则f（x）=0的根有两个，故选A。答案：A13、下列说法正确的有（）①若Ix,x21，当21xx时，有)x(f)x(f21，则)x(fy在I上是增函数；②函数2xy在R上是增函数；③函数x1y在定义域上是增函数；④x1y的单调区间是),0()0,(。A、0个B、1个C、2个D、3个第13题解析：分析：从函数单调性概念出发，逐个进行判断。解：①函数单调性的定义是指定义在区间I上的任意两个值21x,x，强调的是“任意”，所以不正确；②2xy在0x时是增函数，x0时是减函数，从而2xy在整个定义域上不具有单调性，所以不正确；③x1y在),0()0,(和分别都是增函数，但是在整个定义域内不是单调增函数，如53而)5(f)3(f，所以不正确；④x1y的单调递减区间不是),0()0,(。而应写成),0()0,(和。所以不正确。误区点拨：（1）函数的单调性是对于定义域内的某个区间而言的，有时函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；（2）有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；（3）还有的函数是非单调的，如常数函数；（4）对于在整个定义域上不是严格单调的函数，应注意单调区间的写法。如④答案：A14、定义在R上的函数)x(f对任意两个不等实数y,x，总有0yx)y(f)x(f成立，则必有（）A、函数)x(f在R上是增函数B、函数)x(f在R上是减函数C、函数)x(f在R上是常数函数D、函数)x(f在R上的单调性不确定解析：由yx)y(f)x(f0yx)y(f)x(f与得异号，得当yx时，)y(f)x(f。当yx时，)y(f)x(f，说明)x(f在R上是减函数。答案：B15、（创新题）已知x2x)x(g|,x|23)x(f2，)x(g)x(f),x(f)x(g)x(f),x(g)x(F若若，则F（x）的最值是（）A、最大值为3，最小值为1B、最大值为727，无最小值C、最大值为3，无最小值D、无最大值，无最小值解析：此题可借助图象，1)1x(x2x)x(g,)0x(,x23)0x(,x23)x(f22。将)x(f、g(x)的图象画出，然后得出)x(g)x(f),x(f)x(g)x(f),x(g)x(F若若的图象为如图所示的实线部分，由图知。)x(F无最小值，有最大值，即A点的纵坐标由x2xyx23y2得727y，∴选为B答案：B16、设)0(,0)0(,)0(,1)(xxxxxf，则)]}1([{fff（）A．1B．0C．D．1答案：A解析：因为f{f[f(-1)]}=f[f(0)]=f(π)=π+1.17、下列说法正确的个数是（）①函数f(x)=3，因为该函数解析式中不含x，无法判断其奇偶性；②偶函数图象一定与y轴相交；③若)x(fy是奇函数，由)x(f)x(f知0)0(f；④若一个图形关于y轴成轴对称，则该图形一定是偶函数的图象。A、1个B、2个C、3个D、0个解析：从函数奇偶性的定义和图象的对称关系入手逐一分析。解：①∵f(x)=3的图象关于y轴对称，∴f(x)是偶函数，从而①错误。②若函数在x=0处无定义，则该函数不与y轴相交，如2x1y，从而②错误；③当奇函数在x=0处有定义时，有f(0)=0④虽然图形关于y轴对称，但该图形不一定是函数图象，如圆心在原点的圆。误区点拨：判断一个命题不正确时，只要举一个反例即可。答案：D18、若函数)2x(fy是偶函数，则)x(fy的对称轴方程是（）A、0xB、2xC、2xD、1x解析：由)2x(f是偶函数知)2x(f)2x(f，∴)x(f的对称轴为2x。答案：B19、函数xx1)x(f的图象关于（）A、y轴对称B、直线xy对称C、坐标原点对称D、直线y=x对称解析：∵xx1)x(f，∴)x(fxx1xx1)x(f。∴)x(f是一个奇函数。∴)x(f的图象关于原点对称。答案：C20、设xf、xg分别是定义在R上的奇函数、偶函数，当0x时，xfxg单调递增，且03g，则xf0xg的解集为（）A.3,B.3,0C.,3D.3,03,思路分析：在公共定义域内奇函数与偶函数的积是奇函数，在对称区间内奇函数的单调性相同，结合03g，从而得到033hh，画出草图，即可求出解集。解答过程：令xgxfxh，因为xf、xg分别是定义在R上的奇函数、偶函数，所以xh是奇函数，又03g，所以033hh，又当0x时，xgxfxh单调递增，所以xgxfxh在,0上单调递增，故0xgxf的解集为3,03,。答案：D-33xy0拓展提升：两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数，在关于原点对称的单调区间内，奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性。21、已知函数)11()(xxxxf，2200xxxhxxxx，则,fxhx的奇偶性依次为（）A．偶函数，奇函数B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数D．奇函数，奇函数思路分析：先判断函数的定义域，然后再判断f（－x）与f（x）之间的关系，即可得出正确的选项；本题中)11()(xxxxf，而)()11()(xfxxxxf，所以)(xf是奇函数，而h（x）的定义域是对称的，通过它的图象可判断h（x）是奇函数.所以选D.答案：D