求二次函数解析式的基本方法及练习题

求二次函数解析式的基本方法及练习题二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。2、顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)。解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)依题意得：145cbaccba解这个方程组得：432cba∴这个二次函数的解析式为y=2x2+3x－4。例2、已知抛物线cbxaxy2的顶点坐标为)1,4(，与y轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。分析：此题给出抛物线cbxaxy2的顶点坐标为)1,4(，最好抛开题目给出的cbxaxy2，重新设顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)2－1(a≠0)又抛物线与y轴交于点)3,0(。∴a(0－4)2－1=3∴a=41∴这个二次函数的解析式为y=41(x－4)2－1，即y=41x2－2x+3。例3、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C。求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－2)又连结AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：OC2=AC·BC=8×2∴OC=4即C(0,4)。∴a(0+8)(0－2)=4∴a=41∴这个二次函数的解析式为y=41(x+8)(x－2)，即y=41x2－23x+4。变式练习，创新发现1、在图的方格纸上有A、B、C三点（每个小方格的边长为1个单位长度）．（l）在给出的直角坐标系中分别写出点A、B、C的坐标；（2）根据你得出的A、B、C三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数的解析式．2、已知抛物线的顶点坐标为)1,2(，与y轴交于点)5,0(，求这条抛物线的解析式。3、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）4.根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)在y轴上截距为-2．参考答案：1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)。（2）y=21x2－4x+9。2、y=(x－2)2+1，即y=x2－4x+5。3、y=－(x+2)(x－1)，即y=－x2－x+2。4.分析：(1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2解：(1)设y=ax2＋bx+c∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)∴设a=k，b=2k，c=-3k∵有最小值-8∴解析式y=2x2+4x-6(2)∵图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．(3)∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y随x增大而减小∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n∵过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2)说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx＋c，得：题(2)充分利用对称性可简化计算．