第2课时 椭圆方程及性质的应用

第二章圆锥曲线与方程第2课时椭圆方程及性质的应用栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程直线与椭圆的位置关系已知椭圆x225＋y29＝1，直线l：4x－5y＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？(链接教材P47例7)[解]由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交．设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0.①由方程组4x－5y＋k＝0，x225＋y29＝1，栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0.②令方程②的根的判别式Δ＝0，得64k2－4×25(k2－225)＝0.③解方程③得k1＝25，或k2＝－25.由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0.直线m与直线l间的距离d＝|40－25|42＋－52＝154141.所以，最小距离是154141.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程方法归纳本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．直线与椭圆之间有相交、相切、相离三种位置关系，即直线与椭圆有两个不同的公共点、唯一一个公共点、没有公共点．相应地，直线方程与椭圆方程联立组成的方程组有两组解、一组解、无解，消元后的一元二次方程对应的有Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0三种情况．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程1．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，求m的取值范围．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程解：法一：由y＝kx＋1，x25＋y2m＝1，消去y，整理得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m·(5k2＋m－1)．∵直线与椭圆总有公共点，∴Δ≥0对任意k∈R都成立．∵m＞0，∴5k2≥1－m恒成立，∴1－m≤0，即m≥1.又∵椭圆的焦点在x轴上，∴0＜m＜5，∴1≤m＜5.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程法二：∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，且与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1总有公共点．∴定点(0,1)必在椭圆内及其上，∴0＜1m≤1，m＜5，∴1≤m＜5.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程弦长问题已知斜率为2的直线经过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程[解]法一：∵直线l过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F1(1,0)，且直线的斜率为2，∴直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.由方程组2x－y－2＝0，x25＋y24＝1，得交点A(0，－2)，B(53，43)．|AB|＝xA－xB2＋yA－yB2＝0－532＋－2－432＝1259＝535.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标为方程组2x－y－2＝0x25＋y24＝1的解．消去y得，3x2－5x＝0，则x1＋x2＝53，x1·x2＝0.∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x221＋k2AB＝1＋k2AB[x1＋x22－4x1x2]＝1＋22[532－4×0]＝553.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程方法归纳当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程(2)求弦长的公式：设直线l的斜率为k，方程为y＝kx＋b，设端点A(x1，y1)，B(x2，y2)．则|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋kx1－kx22＝1＋k2·x1－x22＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2，或|AB|＝1ky1－1ky22＋y1－y22＝1＋1k2·y1－y22＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程2．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P、Q，且|PQ|＝10，求椭圆方程．解：∵e＝32，∴b2＝14a2.∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2.与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0，由Δ＞0得a2＞32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a2)]．∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆方程为x236＋y29＝1.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程中点弦问题已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程[解]法一：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆的方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.∴x1＋x2＝8k4k－24k2＋1＝8，∴k＝－12.∴直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程法二：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x21＋4y21－36＝0，x22＋4y22－36＝0.两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴y1－y2x1－x2＝－12，即k＝－12，∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程方法归纳解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②由①－②，得1a2(x21－x22)＋1b2(y21－y22)＝0，变形得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·x0y0，即kAB＝－b2x0a2y0.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程3．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y＝3x－2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程解：设x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0)，且a2－b2＝(52)2＝50①，由x2b2＋y2a2＝1y＝3x－2，得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，∵x1＋x22＝12，∴6b2a2＋9b2＝12，∴a2＝3b2②，此时Δ＞0，由①②得：a2＝75，b2＝25，∴此椭圆方程为x225＋y275＝1.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程名师解题破解与椭圆有关的应用题如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|＝2.8cm，|F1F2|＝4.5cm.试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1cm)．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程[教你审题]建系设方程―→求BF2―→求a，b的值―→写出所求方程[解]建立如图所示的直角坐标系，设所求椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．在Rt△BF1F2中，|F2B|＝|F1B|2＋|F1F2|2＝2.82＋4.52.由椭圆的性质知，|F1B|＋|F2B|＝2a，所以a＝12(|F1B|＋|F2B|)＝12(2.8＋2.82＋4.52)≈4.1；b＝a2－c2＝4.12－2.252≈3.4.所以，所求的椭圆方程为x24.12＋y23.42＝1.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程[名师点评]解决与椭圆相关的应用题的基本策略(1)通过求解椭圆的方程来研究它们的性质．(2)应用椭圆的定义、方程及性质把有关几何的知识转化为数量关系，再结合代数知识来求解.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程规范解答向量与椭圆综合问题的规范解答(本题满分12分)(2013·高考天津卷)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左,右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点,若AC→·DB→＋AD→·CB→＝8，求k的值．栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程[解](1)设F(－c,0)，由ca＝33，知a＝3c.1分过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有－c2a2＋y2b2＝1，解得y＝±6b3，于是26b3＝433，解得b＝2.3分又a2－c2＝b2，从而a＝3，c＝1，所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.4分栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组y＝kx＋1，x23＋y22＝1，消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0．根据根与系数的关系知x1＋x2＝－6k22＋3k2，x1x2＝3k2－62＋3k2.栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程因为A(－3，0)，B(3，0)，所以AC→·DB→＋AD→·CB→＝(x1＋3，y1)·(3－x2，－y2)＋(x2＋3，y2)·(3－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋2k2＋122＋3k2.11分由已知得6＋2k2＋122＋3k2＝8，解得k＝±2.12分栏目导引教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第二章圆锥曲线与方程[规范与警示](1)解本题的三个关键步骤：联立椭圆与直线方程组成方程组，消去一个未知数，正确得到关于x(或y)的一元二次方程．用坐标表示AC→·DB→＋AD→·CB→是本题的难点．把x1＋x2，x1x2整体代入表示出AC→·DB→＋AD→·CB→.(2)解答本题的易误点：出现计算错误，如①对直线斜率k是否