【备战高考】2019年高考数学一轮复习第5章第3节《平面向量的数量积及其应用》

备战高考2019年高考数学一轮复习第5章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算考试要求：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知识梳理，自主学习一、基础知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).二、双基自测训练1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(×)(4)(a·b)c＝a(b·c)．(×)(5)两个向量的夹角的范围是0，π2.(×)(6)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角．(×)2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.答案12解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．答案－2解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.4．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．答案52解析a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则★★★知识拓展提升★★★1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.m＝－12，所以a·b＝－1×－12＋2×1＝52.5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为________．答案322解析AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，由定义知，AB→在CD→方向上的投影为AB→·CD→|CD→|＝1552＝322.6．已知△ABC的三边长均为1，且AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.答案－32解析∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－12，∴a·b＋b·c＋a·c＝－32.考点突破，深度剖析考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用【例1】(1)(2018·河南天一联考测试)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝60°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，BE交于点F，连接AF，取CF的中点G，连接BG，则AF→·BG→＝________.(2)(2018·莆田三月检测)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC＝2AD，△ABD的面积为1，若DE→＝12EC→，BE⊥CD，则DA→·DC→＝________.解析(1)依题意，F是△ABC的重心，AF→＝23×12(AB→＋AC→)＝13(AB→＋AC→)，BG→＝12(BF→＋BC→)＝1213BA→＋43BC→＝1243AC→－53AB→＝23AC→－56AB→，故AF→·BG→＝13(AB→＋AC→)·23AC→－56AB→＝9536.(2)如图，以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设|AD|＝a(a0)，则|BC|＝2a，又S△ABD＝1，∴|AB|＝2a，∴A0，2a，B(0，0)，C(2a，0)，Da，2a.设E(x，y)，则DE→＝x－a，y－2a，EC→＝(2a－x，－y)，∵DE→＝12EC→，∴x－a，y－2a＝12(2a－x，－y)＝a－x2，－y2，则x－a＝a－x2，y－2a＝－y2，即x＝43a，y＝43a，∴E43a，43a，∴BE→＝43a，43a，CD→＝－a，2a，∵BE⊥CD，∴BE→·CD→＝0，∴43a·(－a)＋43a·2a＝0，解得a2＝2，∴DA→·DC→＝(－a，0)·a，－2a＝－a2＝－2.答案(1)9536(2)－2【训练1】(1)(2018·武汉三调)在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则AN→·MN→＝()A.－7B.0C.7D.7(2)(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若BD→＝2DC→，AE→＝λAC→－AB→(λ∈R)，且AD→·AE→＝－4，则λ的值为________.解析(1)以AB→，AD→为基底，AN→＝AD→＋34AB→，MN→＝CN→－CM→＝14CD→－13CB→＝－14AB→＋13AD→，AN→·MN→＝AD→＋34AB→·－14AB→＋13AD→＝13AD→2－916AB→2＝13(9－9)＝0.(2)AB→·AC→＝3×2×cos60°＝3，AD→＝13AB→＋23AC→，则AD→·AE→＝13AB→＋23AC→·(λAC→－AB→)＝λ3×3＋2λ3×4－13×9－23×3＝－4⇒λ＝311.答案(1)B(2)311考点二平面向量的夹角与垂直【例2】(1)(2017·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.(2)(2018·洛阳一模)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为2π3，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为()A.－7B.－3C.2D.3(3)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.解析(1)由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m＝2.(2)依题意得a·b＝2×1×cos2π3＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a2－λb2＋(2λ－规律方法1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.1)a·b＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.(3)∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c0，即(2k－3，－6)·(2，1)0，解得k＜3.又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－92.当k＝－92时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即2a－3b与c反向.综上，k的取值范围为－∞，－92∪－92，3.答案(1)2(2)D(3)－∞，－92∪－92，3【训练2】(1)(2018·广东省际名校联考)已知向量a，b满足|a|＝2|b|＝2，且(a＋3b)⊥(a－b)，则a，b夹角的余弦值为________.(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.解析(1)∵|a|＝2|b|＝2，且(a＋3b)⊥(a－b)，∴(a＋3b)·(a－b)＝0，即a2＋2a·b－3b2＝0，故有a·b＝－12，则cos〈a，b〉＝－14.(2)由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.答案(1)－14(2)－2考点三平面向量的模及其应用【例3】(1)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a规律方法1.根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cosθ＝a·b|a||b|(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.＋2b|＝________.(2)(2016·四川卷改编)已知正△ABC的边长为23，平面ABC内的动点P，M满足|AP→|＝1，PM→＝MC→，则|BM→|2的最大值是________.解析(1)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2|a|·|2b|·cos60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×12＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a＋2b|＝12＝23.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则B(－3，0)，C(3，0)，A(0，3).则点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.设P(x，y)，M(x0，y0)，则x＝2x0－3，y＝2y0，代入圆的方程得x0－322＋y0－322＝14，所以点M的轨迹方程为x－322＋y－322＝14，它表示以32，32为圆心，以12为半径的圆，所以|BM→|max＝32＋32＋32－02＋12＝72，所以|BM→|2max＝494.答案(1)23(2)494【训练3】(1)(2018·湖北七市联合调考)平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，若|a|＝|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________.(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰规律方法1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________.解析(1)由|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋