应力状态强度理论

河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论2020年1月28日材料力学第7章应力和应变分析·强度理论河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论目录§7-1应力状态概述§7-2平面应力状态分析-解析法§7-3平面应力状态分析-图解法§7-4三向应力状态分析§7-5广义虎克定律§7-6复杂应力状态的变形比能§7-7强度理论河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论2cos2sin2一、一点的应力状态§7-1应力状态的概念lTTABPIT河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论zMyIqAl(1)同一面上不同点的应力各不相同;(2)同一点不同方位面上的应力也不相同。重要结论：一点的应力状态过一点不同方位面上应力的总和，称为这一点的应力状态。河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论二、研究应力状态的目的1.解决复杂应力状态下的强度计算问题2.有助于理解和解释某些破坏现象●为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？FFMA河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论三、应力状态的研究方法任意一对平行平面上的应力相等1、单元体特征2、主单元体各侧面上切应力均为零的单元体单元体的尺寸无限小，312231取单元体每个面上应力均匀分布河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论3、主平面切应力为零的截面4、主应力主平面上的正应力说明:一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为1,2,3且规定按代数值大小的顺序来排列,即321河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论四、单元体的取法FFmmFqxxxMeMe河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论五、应力状态的分类1、空间应力状态三个主应力1、2、3均不等于零2、平面应力状态三个主应力1、2、3中有两个不等于零3、单向应力状态三个主应力1、2、3中只有一个不等于零312231221111河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论例题1分析薄壁圆筒受内压时的应力状态pDyzlmmn解：①求轴向应力0xF042DDpx得轴向应力为4pDx河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论直径平面pyOFNFNd②求周向应力0yF0sin202Dpldl解得周向应力为2pD河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论主应力为21pD42pDx03筒体内壁0rpp③径向应力河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论三向应力状态的实例滚珠轴承123AF河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论例2已知：球形容器，t,D,p。解：求：容器壁内的应力。tpD424DFpDt,2103取研究对象如图。与薄壁圆筒的情况类似，有：0YF42Dp所以：pσFσσσσ河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论平面应力状态的普遍形式如图所示.单元体上有x,xy和y,yxxxyzyxyyxxyxyyx§7-2平面应力状态分析——解析法河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论一、斜截面上的应力xyaxxyxxyefnefaxxyyxyαααnα河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论xyaxxyxxyefn(1)由x轴转到外法线n，逆时针转向时则为正（2)正应力仍规定拉应力为正（3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正符号的确定efaxxyyxyαααnα河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论efaxxyyxyαααnαefaαdAdAsindAcos由三角形的平衡00sin)sind(cos)sind(cos)cosd(sin)cosd(dAAAAAFyyxxxyn河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论2222222cossinsincosxyyxxyyxyx00cos)sind(sin)sind(sin)cosd(cos)cosd(dAAAAAFyyxxxyt化简以上两个平衡方程最后得不难看出yx90即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论二、最大正应力及方位1、最大正应力的方位令2222222cossinsincosxyyxxyyxyx02222]cossin[xyyxdd02tan2xyxy90000和0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论将0和0+90°代入公式cos2sin222xyxyxy得到max和min(主应力）max22min()22xyxyxy(2)当xy时，0是x与min之间的夹角(1)当xy时，0是x与max之间的夹角河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论二、最大切应力及方位2222222cossinsincosxyyxxyyxyx1、最大切应力的方位02222]sincos[xyyxdd令xyyx221tan90111和1+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论2、最大切应力将1和1+90°代入公式222cossinxyyx得到max和min222xyyx)(minmaxxyyx221tanyxxy220tan比较和可见10212tantan42220101,河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论xyxy例题3图示单元体，已知x=-40MPa，y=60MPa，xy=-50MPa.试求ef截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30°ef(1)求ef截面上的应力MPa.)sin()()cos(sincos3586050602604026040222230xyyxyx河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论MPa.)cos()()sin(cossin31860506026040222030xyyx(2)求主应力和主单元体的方位16040502220)(tanyxxy13545205675220..x=-40MPay=60MPax=-50MPa=-30°因为xy，所以0=-22.5°与min对应河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论MPa7.60MPa7.80)2(222minmaxxyxyxMPa.MPa.7600780321xyxy22.5°13河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论例2：讨论圆轴受扭转时的应力状态并分析铸铁件受扭时的破坏现象。解：破坏时沿45º线断开最大切应力取单元体如图,0x,0yxMeMeDCBA3p16TTWd22minmax22xyyxyx河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论x45o-45o3113ABDC1302圆截面铸铁试件扭转破坏时，其断裂面为与轴线成角的螺旋面，在垂直于断裂面的方向，有最大拉应力，因此，圆截面铸铁试件的扭转破坏是拉断的。同时也说明铸铁材料的抗拉强度小于抗剪和抗压强度。yxxy22tan0450或1350河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论例5已知:A点应力=-70MPa,=50MPa。解：求：A点主应力和主平面，及其它点的应力状态。A点单元体,0xMPa,70yMPa50xyx27.513xyA70MPa50MPaqmmalA河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论,0xMPa,70yMPa50xy主应力22minmax22xyyxyxMPa,26max22)50(2)70(02)70(0MPa96min河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论主应力MPa,261MPa963,02主方向yxxy22tan05.270或5.1170)70(0)50(2429.1xxy70MPa50MPax27.513xyA70MPa50MPa河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论单向拉伸其它几点的应力状态单向压缩纯剪切1531313–45°130310河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论主应力迹线实线表示主拉应力迹线虚线表示主压应力迹线在这样的曲线上，任一点的切线代表该点主应力的方向，这种曲线成为主应力迹线。q31河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论x11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论cossinsincos2222222xyyxxyyxyx一、莫尔圆(Mohr’scircle)将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得§7-3平面应力状态分析——图解法河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论222222xyyxyx)()(上式在-直角坐标系内的轨迹是一个圆.1、圆心的坐标),(02yxC2、圆的半径222xyyxR)(此圆习惯上称为应力圆或称为莫尔圆河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论(1)建-坐标系,选定比例尺o二、应力圆作法1、步骤xyxxyxxyyy河南理工大学土木工程学院材料力学第7章应力和应变分析·强度理论Do(2)量取OA=xAD=xy得D点xyxxyxxyxAOB=y(3)量取BD′=yx得D′点yBD′(4)连接DD′两点的直线与轴相交于C点(5)以C为圆心,CD为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C河南理工