用递推法求概率

用递推法求概率例1(2012全国高中数学联赛8)某情报站有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是.（用最简分数表示）解：设第n周用A种密码的概率为Pn，nnPP1311,3131411－－－nnPP4131431nnP）（,243617P•例2:A、B二人拿出两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数时，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数不是3的倍数时，就由对方接着掷。第一次由A开始掷，若第n次由A掷的概率为Pn，求Pn.解：第n1次由A掷这一事件，包括第n次由A掷、第n1次继续由A掷这一事件以及第n次由B掷、第n1次由A掷这一事件。这两个事件发生的概率分别是1236112361PPnn，,由于这两个事件是互斥的，则PPPPnnnn112361123611323易知P11,由递推式得：PPnn1121312,所以数列Pn12是以P11212为首项，13为公比的等比数列。所以Pnn1212131·即Pnn1212131·例3.从原点出发的某质点M，按向量a=(0,1)移动的概率为32，按向量b=(0,2)移动的概率为31，设质点M可到达点（0，n）的概率为Pn.（1）求P1和P2的值；（2）求证Pn+2-Pn+1=-31(Pn+1-Pn)（3）求Pn的表达式。解：（1）由题意知：PP12223231379，（2）证明M到达点（0，n+2）有两种情况：①从点01，n按向量a01，移动，概率为231Pn；②从点（0，n）按向量b02，移动，概率为13Pn。故PPPnnn212313从而有PPPPnnnn21113（3）由（1）、（2）的递推关系知：数列PPnn1是以PP21为首项，13为公比的等比数列。所以PPPPnnn12111311313191nn故PPnnn113所以PPn112112211311121313131nnnnnnnPPPPPP…………所以PPnnn11112113341413·例4:如图，21)(＋nn个不同的数随机排成一个三角阵，设MK是从上往下数第K行中的最大数，求M1M2…Mn的概率。××××××××××……××…………××解：设所求的概率为Pn，121nMMM……的概率为Pn1，而最大数在第n行的概率为：nnnn1221于是PnPnn211又PPPPP1213212324，，PPPnPnn4312521，……，以上各式相乘，得：Pnnnn123242121……!所以MMMn12……的概率21nn!例5:某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动。已知开关第一次闭合后出现红灯与绿灯的概率均为21,从开关第二次闭合起,若前次出现红灯,则下一次出现红灯的概率为31,出现绿灯的概率为32;若前次出现绿灯,则下一次出现红灯的概率为53,出现绿灯的概率为52.求(1)第二次闭合后出现红灯的概率是多少?(2)第n次闭合后出现红灯的概率是多少?解：(1)15715331112PPP(2)设所求的概率为Pn，53154153311nnnnPPPP1991543811nnP）（例5变式:某校有两个食堂A和B.已知学生第一次去两个食堂就餐的概率均为21.从第二次就餐起,若前次去食堂A,则下一次仍在食堂A就餐的概率为31,而去食堂B就餐的概率为32;若前次去食堂B,则下一次去食堂A就餐的概率为53,而留在食堂B就餐的概率为52.求(1)第二次就餐后学生去食堂A的概率是多少?(2)第n次就餐后学生去食堂A的概率是多少?例6:设棋子在正四面体ABCD的表面从一个定点移向另外三个定点是等可能的。现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动：若投出的点数是奇数，则棋子不动；若投出的点数是偶数，棋子移动到另一定点。若棋子的初始位置在定点A，回答下列问题。（1）投了2次骰子，棋子才到达定点B的概率是多少？（2）投了3次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率是多少？（1）“投了2次骰子，棋子才到达顶点B”包含两种情况：“第一次不动，第二次移到点B”、“第一次移到C或D，第二次移到B”，所求概率为P=12·12·13+12·23·12·13=536（2）“投了3次骰子，棋子恰巧在顶点B”包含三种情况：“三次中棋子恰移到一次”、“三次中棋子恰移到两次”、“三次中棋子恰移到三次”所求概率为P=3·（12）3·13+3·（12）3·2·（13）2+（12）3·7·（13）3=18+112+7216=1354（1）分两种情形：①第一次不动，第二次移到B，即BAA；②两次都动，即BCA或BDA，故投了2次骰子，棋子才到达顶点B的概率为365)61(261212。（2）①两次停在相同顶点：BAAA、BBAA、BBBA；②一次停在相同顶点：BCAA、BDAA、BBCA、BCCA、BBDA、BDDA；③每次都向其它顶点移动：BCBA、BDBA、BADA、BCDA、BDCA、BACA、BABA。故投3次骰子，棋子恰好在顶点B的概率是54137)61(6)61(21361)21(322。