1.9：三矢量的混合积

1.9三矢量的混合积1.复习(数性积和矢性积)cos(,)ababab矢量a与b的矢性积为ab||||||sinabab(其中为a与b的夹角)方向既垂直于a，又垂直于b，且符合右手系{a,b,ab}.abababc（）是一个数量.数性积是一个矢量.abc（）abc（）现在考虑：2.定义定义1.9.1设已知三个矢量a、b、c，数量()abc称为这三个矢量的混合积，记为(,,)()abcabc或.（1）矢量混合积的几何意义：向量的混合积()abccba)(是这样的一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积.acbba关于混合积的说明：()cos(,)abcabcabcbcabaS=|ab|hacbba3.混合积的几何意义|][|abc||||ababc射影hSV||cbac()abcV左手系时，()abcV右手系时，hacabb3.混合积的几何意义|][|abc||||ababc射影hSV||cba其混合积(abc)=0三矢a,b,c共面因此，定理1.9.1三个不共面的矢量,,abc的混合积的绝对值等于以,,abc为棱的平行六面体的体积,并且当,,abc构成右手系时混合积为正数;当,,abc构成左手系时混合积为负数,也就是有(),1.abcV定理1.9.2三向量a、b、c共面()0.abc证明:先证明必要性“”，即已知三个矢量,,abc共面，求证()0.abc因为三向量a、b、c共面，所以abaabb（因为由定义可知：且）abc，()0.abc证毕.再证明充分性“”，即已知()0abc，求证:三个矢量共面.由()0abc及定义,得abc即0abc（）而又,,abaabb所以,矢量,,abcab都与垂直,首先,若ab矢量与共线，即0ab，结论显然成立.以下设0.ab所以三矢量a、b、c共面证毕.三向量a、b、c共面()0.abc定理1.9.3()()()abcbcacab()()()baccbaacb证明:三个矢量共面时,结论显然成立.以下设它们不共面.(),(),()abcbcacab的绝对值都等于以(),(),()abcbcacab,,abc为棱的平行六面体的体积,即它们的绝对值相等.又因为(),(),()abcbcacab具有相同的左右手系,(因为轮换不改变左右手系)abccababc即它们的符号也相同.证毕.只证明第一组.第二组可以类似考虑.4.混合积的性质推论()()abcabc()()()()abcabcbcaabc因为例1设三向量满足,,abc0,abbcca试证三矢量a、b、c共面证明:由0,abbcca两边与c作数性积，得()()()abcbcccac所以,()0abc，即三矢量a、b、c共面.5.矢量混合积在直角坐标系下的分量表示•设直角坐标系{;,,},Oijk111,aXiYjZk222,bXiYjZk333,cXiYjZk定理1.9.4111222333()XYZabcXYZXYZ证明:ab因为111111222222YZZXXYijkYZZXXY所以,abc（）111111333222222YZZXXYXYZYZZXXY333111222XYZXYZXYZ111222333XYZXYZXYZ推论三个矢量,,abc共面的充要条件为1112223330XYZXYZXYZ思考：在仿射坐标系下以上二式成立否？例2.已知四面体ABCD的顶点坐标A(0,0,0),B(6,0,6),C(4,3,0),D(2,-1,3),求它的体积.ABCD解:它的体积等于以,,ABACAD为棱的平行六面体体积的六分之一1(,,)6VABACAD即，{606}{430}{213}ABACAD而，，，，，，，，，所以606430213161V例3已知空间内不在一平面上的四点),,(111zyxA、),,(222zyxB、),,(333zyxC、),,(444zyxD,求四面体的体积.解由立体几何知，四面体的体积等于以向量AB、AC、AD为棱的平行六面体的体积的六分之一.][61ADACABV},,{121212zzyyxxAB},,{131313zzyyxxAC},,{141414zzyyxxAD14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.已知()2abc，计算)()]()[(accbba.解)()]()[(accbba)()][accbbbcabaccbcccacba)(0)()(acbaacaaba)(0)()(0000cba)(cba)(22()abc.4例4例5设三矢量a、b、c不共面，求矢量d对,,abc的分解式.(也即将d表示成,,abc的线性组合)解:因为三矢量a、b、c不共面，所以可设dxaybzc上式两边同时点乘,bc得()()()()dbcxabcybbczcbc则得(),()dbcxabc同理可以得到(),()adcyabc().()abdzabc向量的数量积向量的向量积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）小结例6已知向量0a，0b，证明2222)(||||||bababa.证明:)(sin||||||,2222bababa)](cos1[||||,222baba22||||ba)(cos||||,222baba22||||ba.)(2ba证毕.思考与练习：第60页,1.5（1）作业：第60页,2.4.