第三章 线性控制系统的能控性和能观性

1第三章线性控制系统的能控性和能观性§3-1能控性的定义§3-2线性定常系统能控性判别§3-3线性连续定常系统能观性§3-4离散时间系统的能控性与能观性§3-6能控性与能观性的对偶关系§3-7状态空间表达式的能控标准型与能观标准型§3-8线性系统的结构分解§3-9传递函数矩阵的实现问题§3-10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系2现代控制理论是建立在用状态空间描述的基础上的。状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程；输出方程则描述了由状态变化引起的输出y(t)的变化。在现代控制理论中，能控性和能观性是两个重要的概念，是卡尔曼(Kalman)在1960年首先提出来的，它是最优控制和最优估计的设计基础。能控性和能观性正是分别分析u(t)对状态x(t)的控制能力以及输出y(t)对状态x(t)的反映能力。3本章将在详细讨论能控性和能观性定义的基础上，介绍有关判别系统能控性和能观性的准则，以及能控性与能观性之间的对偶关系。然后介绍如何通过非奇异变换把能控系统和能观系统的动力学方程化成能控标准型和能观标准型，把不完全能控系统和不完全能观系统的动力学方程进行结构分解。最后在系统结构分解的基础上介绍传递函数的最小实现。4能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下，状态矢量x(t)的转移情况，与输出y(t)无关，所以只需从系统的状态方程研究出发即可。§3-1能控性的定义5一、线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统BuAxx如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间[t0,tf]内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。6上述定义可以在二阶系统的状态平面上来说明(如图3-1所示)。假定状态平面中的P点能在输入的作用下被驱动到任一指定状态P1,P2,P3,,Pn，那么状态平面的p点是能控状态。7假如能控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入u(t)，使得在有限的时间区间[t0,tf]内，将状态转移到状态空间的任一指定状态，则该系统称为状态完全能控。可以看出，系统中某一状态的能控和系统的状态完全能控在含义上是不同的。82)也可以假定x(t0)=0，而x(tf)为任意终端状态，换句话说，若存在一个无约束控制作用u(t)，在有限时间[t0,tf]能将x(t)由零状态驱动到任意x(tf)。在这种情况下，称为状态的能达性。几点说明:1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻t0=0，初始状态为x(0)，而任意终端状态就指定为零状态，即0)(ftx在线性定常系统中，能控性与能达性是可以互逆的，即能控系统一定是能达系统，能达系统一定是能控系统。93)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一的，因为我们关心的只是它能否将x(t0)驱动到x(tf)而不计较x的轨迹如何。10三、离散时间系统其中u(k)是标量控制作用,在(k,k+1)区间内是个常值。只考虑单输入的n阶线性定常离散系统)()()1(kkkHuGxx若存在控制作用序列u(k),u(k+1),u(l-1)能将第k步的某个状态x(k)在第l步上到达零状态，即：x(l)=0，其中l是大于k的有限数，那么就称此状态是能控的。若系统在第k步上的所有状态x(k)都是能控的，那么此系统是状态完全能控的，称为能控系统。能控性定义为:11§3-2线性定常系统能控性判别线性定常系统能控性判别准则有两种形式一种是先将系统进行状态变换，把状态方程化为约旦标准型，再根据阵，确定系统的能控性;)ˆ,ˆ(BABˆ另一种方法是直接根据状态方程的A阵和B阵，确定其能控性。12一、具有约旦标准型系统的能控性判别1．单输入系统123n即n个根互异n00321Λ具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为(3-2)(3-1)buΛxxbuJxx或13nmmmmJ000010001100111111(m-l)个1重根,l个m重根，其余为互异根。14为简明起见，下面举三个具有上述类型的二阶系统，对能控性加以剖析。Tnbbbb21(3-3)xccyubxx21221;000xccyubxx21211;001(3-4)xccyubxx21111;001(3-5)151)对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为111xxubxx2222(3-6)(3-7)从式(3-7)可知，可以受控制量u的控制，从式(3-6)又知，与u无关,即不受u控制。2x1xxccyubxx21221;000是能控状态，故为状态不完全能控的，因而为不能控系统。因而只有一个特殊状态)(0)(2txtx16就状态空间而言，如图3-2所示。能控部分是图中粗线所示的一条线，它属于能控状态子空间，除此子空间以外的整个空间，都是不能控的状态子空间。17它是一个并联型的结构，而对应x1(t)这个方块而言,是一个与u(t)无联系的孤立部分，而状态x2(t)受u(t)影响，故x1(t)不能控的。式(3-3)系统的方块结构图如图3-3所示。182)对于式(3-4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为2111xxxubxx2212(3-8)(3-9)虽然式(3-8)与u(t)无直接关系，但它与x2是有联系的，而x2却是受控于u(t)的，所以不难断定式(3-4)的系统是状态完全能控的。xccyubxx21211;00119它是一个串联型结构，没有孤立部分，也表明其状态是完全能控的。根据式(3-8)，式(3-9)画出系统的方块结构图如图3-4所示。203)对于式(3-5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素却为0，其微分方程组为ubxxx12111212xx(3-10)(3-11)式(3-11)中只有x2本身，它不受u(t)的控制，而为不能控的。xccyubxx21111;001从图3-5的方块结构图来看，存在一个与u(t)无关的孤立部分。211)系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。通过以上分析，可以得出以下几点结论：系统矩阵A是由系统的结构和内部参数决定的，控制矩阵b是与控制作用的施加点有关的，因此系统的能控性完全取决于系统的结构、参数，以及控制作用的施加点。如图3-3所示，控制作用只施加于x2，未施加于x1，图3-5则相反，这些没有与输入联系的孤立部分所对应的状态变量是不能控制的。222)在A为对角线型矩阵的情况下，如果b的元素有为0的，则与之相应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，而与u(t)无关；这样，该方程的解无强制分量，在非零初始条件时，系统状态不可能在有限时间tf内，衰减到零状态，从状态空间上说，xT=[x1x2xn]T是不完全能控的。如果一个系统至少有一个状态变量是不能控的，则称此系统不完全能控，或简称为不能控。234)不能控的状态，在结构图中表现为存在与u(t)无关的孤立方块，它对应的是一阶齐次微分方程的模拟结构图，其自由解是，故为不能控的状态。tiiex)0(3)在A为约旦标准矩阵的情况下，由于前一个状态总是受下一个状态的控制，故只有当b中相应于约旦块的最后一行的元素为零时，与其相应的为一个一阶标量齐次微分方程，而成为不完全能控的。242．具有一般系统矩阵的多输入系统系统的状态方程为BuAxx(3-12)1)若令x=Tz，式(3-12)可变为约旦标准型或BuTΛzz1BuTJzz1(3-13)(3-14)252)可以证明，系统的线性变换不改变系统的能控性条件。第一章已经证明，线性变换不改变系统的特征值，而从上一段可知，若某第i个状态xi不能控，就是的自由分量不能控，也即相应特征值的自然模式不能控，既然系统线性变换不改变系统特征值，所以不改变系统的能控性。tiiex)0(tie263)推得一般系统的能控性判据如下:若系统矩阵A的特征值互异，则式(3-12)可变换为式(3-13)的形式，此时系统能控性的充分必要条件是控制矩阵T-1B的各行元素没有全为0的。若系统矩阵A的特征值有相同的，则式(3-12)可变换为式(3-14)的形式，此时系统能控性的充分必要条件是：②T-1B中对于互异特征值部分，它的各行元素没有全为0的。①在T-1B中对应于相同特征值的部分，每个约旦块最后一行相对应的元素没有全为0的。274)应指出，A的特征值互异时，其对应的特征矢量必然互异，故必然能变换为式(3-13)的对角线型。在这种情况下，对单输入系统是不能控的，对多输入系统则需考察T-1B中，与那些相同特征值对应的约旦块的最后一行元素所形成的矢量是否线性无关。若它们线性无关，系统才是能控的。但即使A的特征值相同时，其对应的特征矢量也有可能是互异的，故也有可能变换为式(3-13)的对角线型。如此，则在J=T-1AT中，将出现两个以上与同一特征值有关的约旦块。在这种情况下，不能简单地按上述3)的判据确定系统的能控性。28[例3-1]解1、2两系统属能控系统；判断下列系统的能控性ubbxxxxxx323213113210000001.121543214411154321210003001001101.2uuxxxxxxxxxx29解3、4两系统则是状态不完全能控的，为不能控系统。213231121132131132100000001.3uubbbbxxxxxxubbbbxxxxxxxxxx001101.4432154321441115432130[例3-2]有系统如下，试判断其是否能控。u150154xx解将其变换成约旦型，先求其特征根0)1)(5(541542AI得1;521再求变换阵111521ppT656161611T31T-1b有一行元素为零，故系统是不能控的，其不能控的自然模式为et。故0115656161611bT得变换后的状态方程uzbuTATzTz0110051132[例3-3]有系统如下，试判断其是否能控。uaaa100100010210xx解若A的特征值1，2，3互异，将其变换为对角线阵时，变换矩阵232221321111T331231233131121223231)()()(11TTTadj123