数学分析第7章

数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云[e-mail]第七章定积分§1.定积分的概念§2.定积分存在的条件§3.定积分的性质§4.定积分的计算第一节定积分的概念1.问题的提出2.定积分的概念abxyo?A曲边梯形由连续曲线实例1（求曲边梯形的面积）)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.一、问题的提出)(xfyabxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，0121[,],nnabaxxxxxb在区间内插入若干个分点，abxyoiix1x1ix1nx;],[],[11iiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间，上任取一点在每个小区间iiixx],[1iiixfA)(为高的小矩形面积为为底，以)(],[1iiifxxiniixfA)(1曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(lim10时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21nxxx曲边梯形面积为实例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程.思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割212101TtttttTnn1iiitttiiitvs)(部分路程值某时刻的速度（2）求和iinitvs)(1（3）取极限},,,max{21ntttiniitvs)(lim10路程的精确值二、定积分的概念设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i定义1niiifx并作和＝1、定积分的定义怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，确定的极限I.我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分.记为积分上限积分下限积分和和有注意(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.badxxf)(badttf)(baduuf)((2)定义中区间的分法和的取法是任意的.i.],[)(baRxf简记为(3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在时,称f(x)在区间[a,b]上(黎曼)可积.1.dxxf)(与badxxf)(的差别dxxf)(是)(xf的全体原函数是函数badxxf)(是一个和式的极限,是一个确定的常数注：,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba2.定积分的几何意义几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于xxbxaxxfx,)(4321)(AAAAdxxfba例1利用定义计算定积分.102dxx解将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1)小区间],[1iixx的长度nxi1，(ni,,2,1)取iix，(ni,,2,1)1()niiifxiinix21,12iniixxnnini121niin12316)12)(1(13nnnn,121161nnn0dxx102iinix210limnnn121161lim.313.可积的必要条件定理若函数)(xf在],[ba上可积，则)(xf在],[ba上必有界。注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。用反证法．若f在ba,上无界，则对于ba,的任一分割T，必存在属于T的某个小区间kkxfx在,上无界．在ki各个小区间i上任意取定i，并记.ikiixfG证明现对任意大的正数M，由于f在k上无界，故存在kk，使得.kkxGMf于是有ikiikkiniixfxfxf1由此可见，对于无论多小的T，按上述方法选取点集i时，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，这与f在ba,上可积相矛盾MGxxGMkk例2证明狄利克雷函数为无理数当为有理数当x，，xxD0,1)(在10，上有界但不可积．证显然.1,0,1xxD在[0，1]上有界。对于10，的任一分割T，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T的任一小区间i上，当取i全为有理数时，111niiiniixxD；当取i全为无理数时，01iniixD．所以不论T多么小，只要点集i取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同极限，即xD在10，上不可积．口由此可见，有界是可积的必要条件．以后讨论可积性时，总假设函数是有界的．;0.baabaafxdxfxdxfxdx规定：第二节定积分存在的条件一、定积分存在的充分必要条件二、可积函数类一、定积分存在的充分必要条件011,,nnfxababaxxxxb设在有界，在插入分点1,,1,2,,iiabnxxin把分成个小区间11sup,inf,iiiiiiMfxxxxmfxxxx记1iiixxx11nniiiiiiSMxSmx作和式分别称为对于这一分法的达布上和及达布下和，统称达布和。1'',''.SSSSS定理如果在原有的分点中加入新的分点，则上和不增，下和不减。也就是说，若加入新分点后对应的上和及下和分别记为S及则，011,nnaxxxxb证设原有分点为11,':'.iiiixxxxxx不失一般性，不妨假定只在中插入一个新分点112sup,',sup',iiiiMfxxxxMfxxxx记12,iiiiMMMM显然，所以122,,'.iiiMMMMSS因此'SS同理可证。2,.,.SmbaSMbaMmfxab定理对于一切分法，上和的集合有下界下和的集合有上界这里分别用及记在的上确界及下确界,iimMMm证沿用以上记号，显然有。于是有11nniiiiiSMxmxmba.SMba同理可证3.SS定理任一个下和总不超过任一个上和，即使是对应于不同分法的上和及下和122121,,.abSSSSSS证对于设有两个独立的分法，对应的达布和分别记为，及，下证33,1SS把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法，对应的达布和分别记为及，于是由定理可知3213,.SSSS3231,.SSSS而所以sup,inflSLS记.lL则004,lim,lim,max.iifxSLSlx定理对任何有界函数必有其中规定为对任意的分法达布定理证明我们就上和的情形加以证明.,0,,LSab由于是的下确界所以对于任意，可以对作一分法''''011ppaxxxxb'''',202SSLSLSL使得对应于这一分法的上和满足，及－',ipx固定了及以后可取''''''10211min,,,,21ppxxxxxxpMm,.Mmfxab其中及分别为在的上、下确界于是，为了得到所需的结论，只要证明，对任意的分法011nnaxxxxb.SLSL只要时，就成立即可*,S事实上，合并以上两个分法的分点，作为新分法的分点，这样得到一个新的分法，设其对应的上和为''11,iijjxxxx那么由于任一长度都小于任一长度，'1,.iijxxx所以在每一部分区间内至多只有中的一个点''0001'11,,,,,1pnnnjiixxxxxxxxxxxp又因分别与重合，因而它们不在及内，因此，含有的部分区间最多只有个。'1,iijxxxS另一方面，若中不含有的点，则在**1'1,.iiiiijSMxxSSxxx中及中都含有项，从而在差中只剩下中含有点的那些项的差''1121''1,,,,,iijiiijjijiixxxMMfxxxxxxxx设中含有点而，分别为在及的上确界，那么对于含有的这种部分区间作和，得*''11120iiiijiiijSSMxxMxxMxx''112iijiiiijMMxxMMxx''1jiijMmxxxx11iiMmxxMmp1212MmppMm*'12SLSL另一方面，由定理有0SL于是将上面的两个不等式相加，得定理证毕。015,,lim.niiifxabLlfxI定理定积分存在的第一充分必要条件函数在可积的充分必要条件是即证明：先证必要性。,,fxab设在可积则按定义，可设01lim.niiifxI10111,2,,,00,maxiiiniiiinxxxaxxxbxxx此处亦即对任意的，存在，使对任意的分法及上任意的点，只要，就有12niiifxI1,iiiMfxxx设为在上的上确界。按上确界定义，1,iiixx可得，使02iiMfba1122nniiiiiiiSfxMfxbaba于是1,,iiixx同时，因为故12niiifxI－1122nniiiiiiSISfxfxI于是有0limSI亦即0limSI同理可证,,.fxLlfxab由此可见当可积时，与相等，而且就是上的积分值下证充分性。00limlimSSI设:SS由及的定义可知，对任意的分法011nnaxxxxb11,iiniiixxSfxS以及对中任意的，作成的积分和皆满足010limniiifxI取极限，得0,lim0fabSS注：在可积11sup''','',',,iiiiiiiMmfxfxxxxxfxxx定义：称为在上的幅度。01,lim0niiifabx注：在可积