不可压缩粘性流体的运动微分方程

第八章粘性流体绕过物体的流动第八章粘性流体绕过物体的流动不可压缩粘性流体的运动微分方程及其解析解边界层理论圆柱体绕流物体的阻力第一节不可压缩粘性流体的运动微分方程yxzodydzdxxfzfyfdzzzxzxAdxxppxxxxdxxxzxzdxxxyxyyxxzxyxxpzxdyyyxyx第一个下标表示应力所在平面的法线方向第二个下标表示应力本身的方向。根据达朗伯原理，作用于微元平行六面体上的各力对通过中心M并与z轴相平行的轴的力矩之和应等于零。又由于质量力和惯性力对该轴的力矩是四阶无穷小量，可以略去不计，故有02222dxdydzdxxdxdydzdydxdydyydzdxdzxyxyxyyxyxyxMdydxyxodyyyxyxdxxxyxyyxxy图8-2分析切向应力之间的关系用图再略去四阶无穷小量，又因，故得同理可得（8-2）这样，在式（8-1）中九个应力只有六个是独立的。0dxdydzxzzxzyyzyxxy假若流体的粘度在个方向上都是相同的可得yzxxzzxxyzzyyzzxyyxxyxvzvzvyvyvxv222广义牛顿内摩擦定律其意义为：切向应力等于动力粘度和角变形速度的乘积。在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微团除发生角变形以外，同时也发生线变形。vzvppvyvppvxvppzzzyyyxxx322322322现将切向应力和法向应力的关系式代入式(8-1),化简可得不可压缩粘性流体的运动微分方程：纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程如果是没有粘性的理想流体，则为零，于是纳维-斯托克斯方程变成理想流体的欧拉运动微分方程。dtdvdtdvdtdvzyx、、如果没有加速度，则都为零，于是上述方程变成欧拉平衡微分方程。所以说，上述纳维-斯托克斯方程式不可压缩流体的最普遍的运动微分方程。以上三式加上不可压缩流体的连续方程或共有四个方程，原则上可以求解不可压缩粘性流体运动问题中的四个未知数和p。但是，实际上由于流体流动现象很复杂，要利用这四个方程去求解一般可压缩粘性流体的运动问题，在数学上还是很困难的。所以，求解纳维-斯托克斯方程，仍然是流体力学的一项重要任务。0zvyvxvzyx0vzyxvvv、、现在来研究粘性流体在大雷诺数下平滑地绕流某静止物体（例如机翼的翼型，图8-9）的情况。在紧靠物体表面的薄层内，流速将由物体表面上的零值迅速地增加到与来流速度同数量级的大小，这种在大雷诺数下紧靠物体表面流速从零急剧增加到与来流速度相同数量级的薄层称为边界层。在边界层内，流体在物体表面法线方向上的速度梯度很大，即使粘度很小的流体，表现出的粘滞力也较大，决不能忽略。所以，边界层内的流体有相当大的涡通量。当边界层内的有旋流离开物体而流入下游时，在物体后形成尾涡区域。在边界层外，速度梯度很小，即使粘度较大的流体，粘滞力也很小，可以忽略不计。所以可以认为，在边界层外的流动是无旋的势流。v由此可见，当粘性流体绕过物体流动时，可以将物体外面的流场划分为两个区域：在边界层和尾涡区域内，必须考虑流体的粘滞力，它应当被看作是粘性流体的有旋流动；在边界层和尾涡区以外的区域内，粘滞力很小，可以看作是理想流体的无旋流动。实际上，边界层内、外区域并没有一个明显的分界面，一般在实际应用中规定从固体壁面沿外法线到速度达到势流速度的99%处距离为边界层的厚度，以表示，见图8-9。解决大雷诺数下绕过物体流动的近似方法是以边界层理论为基础的。用微型测速管直接测量紧靠机翼表面附近的流速得知，实际上边界层很薄，通常边界层的厚度仅为弦长的几百分之一。例如在汽轮机叶片出汽边上，最大边界层厚度一般为零点几毫米。从图8-9中可以看出，流体在前驻点O处速度为零，所以边界层的厚度在前驻点处等于零，然后沿着流动方向逐渐增加。为了清晰起见，在图8-9上将边界层的尺寸放大了。另外，边界层的外边界和流线并不重合，流线伸入边界层内，这是由于层外的流体质点不断地穿入到边界层里去的缘故。总结上面所述，边界层的基本特征有：•与物体的长度相比，边界层的厚度很小；•边界层内沿边界层厚度的速度变化非常急剧，即速度梯度很大；•边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；•由于边界层很薄，因而可近似地认为，边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；•在边界层内粘滞力和惯性力是同一数量级的；•边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流两种流动状态。对平板而言，层流转变为紊流的临界雷诺数为边界层从层流转变为紊流的临界雷诺数的大小决定于许多因素，如前方来流的紊流度、物体壁面的粗糙度等。实验证明，增加紊流度或增加粗糙度都会使临界雷诺数值降低，即提早使层流转变为紊流。如机翼前端的边界层很薄，不大的粗糙度凸出就会透过边界层，导致层流变为紊流。65103~105Rex现在根据边界层的特征，利用不可压缩粘性流体的运动微分方程来研究边界层内流体的运动规律。为简单起见，只讨论流体沿平板作定常的平面流动,x轴与壁面相重合，如图8-11所示。假定边界层内的流动全是层流，忽略质量力，则不可压缩粘性流体平面定常流动的微分方程和连续方程为（8-36）01122222222yvxvyvxvypyvvxvvyvxvxpyvvxvvyxyyyyyxxxxyxxvxvyxxlo图8-11推导层流边界层的微分方程用图可以利用边界层每一处的厚度都很小的特征，来比较方程组（8-36）中各项的数量级，权衡主次，忽略次要项，这样便可大大简化该方程组。边界层的厚度与平板的长度相比较是很小的，即，而y的数值限制在边界层内，并满足不等式为了把方程组（8-36）变换成无量纲的，引入坐标与平板长度、分速度与来流速度，压强与之比，即引入无量纲物理量：ll1ll或y0v2v2vppvvvvvvlyylxxyyxx将它们代入方程组（8-36），整理后得22222211111Re1yvxvxpyvvxvvxxlxyxx111Re122222yvxvypyvvxvvyylyyyx110yvxvyx（8-37）式中。很显然，在边界层内，以及y与是同一数量级，于是可取（符号~表示数量级相同），所以得到如下一些数量级：lvlRelxvvx与、与~1~,1~yxvx和222221~1~1~1~yvyvxvxvxxxx然后，再来求出其它各量的数量级，由连续方程因此，于是又得到以下数量级：1~xvyvxy~yv1~1~~~2222yvyvxvxvyyyy为了便于讨论，将各项的数量级记载方程组（8-37）相应项的下面。现在来分析方程组（8-37）各项的数量级，以达到简化方程的目的。惯性项和具有相同的数量级1，而惯性项和也具有另一个相同的数量级，比较这两个惯性项的数量级，方程组（8-37）中第二式中各惯性项可以忽略掉。另外，比较各粘性项的数量级，可知与比较，可以略去；又与比较，可以略去；最后，比较和的数量级，也可以略去。于是在方程组（8-37）的粘性项中只剩第一式中的一项xvvxxyvvxyxvvyxyvvyy22xvx22yvx22xvx22xvy22yvy22xvy22yvx22yvy22yvy。22yvx根据边界层的特征，在边界层内惯性项和粘性项具有同样的数量级，由方程组（8-37）可知，必须使和同数量级，所以，即反比于。这表明，雷诺数越大，边界层相对厚度越小。lRe12llRe1~lRe这样，将式（8-37）中的某些项略去，再变换成有量纲量，便得到了层流边界层的微分方程（称为普朗特边界层方程）：00122yvxvypyvxpyvvxvvyxxxyxx（8-38）其边界条件为xvvyvvyxyx处在处在00（8-39）式中是边界层外边界上势流的速度分布，可由势流理论来决定。对于沿平板流动，从方程组（8-38）第二式得到一个很重要的结论：在边界层内压强p与y无关，即边界层横截面上各点的压强相等，xv。vxv。而在边界层外边界上，边界层内的流动与外部有势流动相合。所以压强可以根据势流的速度由伯努力方程来决定，即xppxpxvdxdvvdxdpvp常数221因为，即，这就是说，压强项和惯性项具有同一个数量级。对于在壁面上的各点，由式（8-38）的第一式可得1~xv)(~vvvx或dxdvvxp1xvvxx,0,0yxvvydxdvvdxdpyvyx11022（8-40）方程组（8-38）是在物体壁面为平面的假设下得到的，但是，对于曲面物体，只要壁面上任何点的曲率半径与该处边界层厚度相比很大时（机翼翼型和叶片叶型即如此），该方程组仍然是适用的，并具有足够的精确度。这时，应用曲线坐标，x轴沿着物体的曲面，y轴垂直于曲面。虽然层流边界层的微分方程（8-38）比一般的粘性流体运动微分方程要简单些，但是，即使对最简单的物体外形，这方程的求解仍是很复杂的。由于这个缘故，解决边界层问题的近似法便具有很大的实际意义。边界层的动量积分关系式为近似揭发提供了基础。在定常流动的流体中，沿边界层划出一个单位宽度的微小控制体，它的投影面ABDC（图8-12）由作为x轴的物体壁面上的一微元距离BD、边界层的外边界AC和彼此相距dx的两直线AB和CD所围成。现在应用动量方程来研究该控制体内的流体在单位时间内沿x方向的动量变化和外力之间的关系。图8-12推导边界层的动量积分关系式用图Avdxxpp21CxvpdxxppDdydyBxdx单位时间经过AB面流入的质量和带入的动量分别为单位时间经过CD面流出的质量和带出的动量分别为dyvdyvxx020dyvxdxdyvdyvxdxdyvxxxx020200对于不可压缩流体，根据连续方程从边界层外边界AC面流入的质量和带入的动量必分别为dyvxvdxdyvxdxxx00式中为边界层外边界上的速度。这样，可得单位时间沿方向经控制面的动量通量为vx002dyvxvdyvxdxxx现在求作用在该控制体上沿x方向的一切外力。作用在AB、CD和AC诸面上的总压力沿x方向的分量分别为ddxxppddxxppp21式中是A与C之间的平均压强。壁面BD作用在流体上的切向应力的合力为dxxpp21dx于是，作用在该控制体上沿x方向诸外力之和为dxdxxpdxddxxppddxxppp21其中略去了二阶微量。根据动量方程，即单位时间经控制面流体动量的通量等于外力之和，就可得到定常流动条件下卡门的边界层动量积分关