传热学-第2章-稳态热传导

传热学第2章稳态热传导内容要求：导热的基本定律（Fourier定律）；导热问题的数学描述：导热微分方程及定解条件；几种最典型的一维稳态导热问题分析解；（通过平壁，圆筒壁，肋片的导热）具有内热源的一维导热问题；多维稳态导热的求解方法。第2章稳态热传导2.分类：1.定义：温度场描述了各个时刻物体内所有各点的温度分布。),,,(zyxft2.1导热基本定律-傅里叶定律2.1.1温度场（temperaturefield）按温度场是否随时间变化：稳态温度场：0t非稳态温度场：0t按温度场随空间坐标的变化：)(xft一维稳态温度场（onedimensionalsteadystatetemperaturefield）三维温度场；二维温度场；一维温度场：),,(yxft),(xft),,,(zyxftδtw1t(x)tw2xt0大平壁的稳态导热δtw1t(x)tw2xt0大平壁的稳态导热Φ举例3.温度梯度（temperaturegradient）是沿等温面法线方向的向量，其正方向指向温度增加的方向。t+∆ttt-∆tnx∆x∆ndAqgradt等温线，温度梯度，热流t+∆ttt-∆tnx∆x∆ndAqgradtt+∆ttt-∆tnx∆x∆ndAqgradt等温线，温度梯度，热流1.导热基本定律（Fourier’slawofheatconduction）nnttgradqnntAtgradA2.1.2导热基本定律Φ—热流量（heatflow）单位时间内通过某一给定截面的热量。Wq—热流密度（heatflux）单位时间内通过单位面积的热量。W/m2—导热系数（thermalconductivity）—空间某点的温度梯度（temperaturegradient）式中：nnt2.关于Fourier定律的几点说明：物理意义：在导热过程中，热流量其大小正比于温度梯度和截面面积，其方向与温度梯度方向相反。nntqnntAFourier定律又称为导热热流速率方程。向量形式适用范围：各向同性物体的稳态导热和非稳态导热。各向异性材料：Q的方向与温度梯度的方向和λ的方向性有关。不适用：极低温，大q瞬态导热。kqjqiqkztjytixtnnttgradqzyx热流密度：ztqytqxtqzyx直角坐标系中热流密度的大小和方向kztjytixttgrad温度梯度：方向：温度降落的方向单位：W/m2大小：ntqδtw1t(x)tw2xt0大平壁的稳态导热δtw1t(x)tw2xt0大平壁的稳态导热Φ221/mWttxdtdAqwwx一维稳态导热的傅里叶定律：举例0,0zyqq1.定义：KmWtgradq/即温度梯度的绝对值为1K/m时的热流密度。2.影响因素：物体的结构和物理状态（密度，成分，湿度等）物体的种类；物体的温度实验指出，对大多数材料,与t呈线形关系；=0(1+bt)(附表15,P403)2.1.3导热系数（thermalconductivity）导热系数：气体~绝热材料液体金属2.1.4各类物体的导热机理气体：最小，数值：0.006—0.6W/(m.K)机理：气体分子不规则的热运动和相互碰撞而产生的热量传递。影响因素：•温度；温度升高，导热能力增强；•气体分子量；分子量小的气体导热能力强。氢，氦的导热系数高。机理：分子运动表现为晶格的振动。金属的导热主要依靠自由电子的迁移完成；非金属导热主要依靠分子或晶格振动完成。纯金属：导热系数很大影响：纯金属的温度t,掺入杂质（合金）黄铜固体：常温：银紫铜黄金铝铂铁等导电性能好的金属，导热性能也好金属：值：常温2.2—420W/m.K耐火材料，建筑材料：绝热材料：凡平均温度在350℃以下时导热系数小于0.12W/m.K的材料。各向异性材料（木材，石墨，晶体等）导热系数的数值与方向有关。非金属：值：0.025—3.0W/m.K影响：温度，材料气孔率，湿度，密度。举例玻璃纤维，矿渣棉，聚乙烯泡沫塑料。值：0.07—0.7W/m.K机理：类似于气体或非金属固体的导热。影响因素：温度；对大多数液体t,（水，甘油除外）液体：导热问题完整的数学描述：2.1导热问题的数学描述导热微分方程：是描述物体内温度分布的微分关系式。是根据傅里叶定律和能量守恒定律建立的。导热微分方程定解条件+定解条件：规定几何条件，物理条件，时间条件和边界条件。假设:物体各向同性连续介质,λ,ρ,с为常数，物体有内热源（存在吸热放热的化学反应，电阻通电发热等）。选取微元六面体，应用能量守恒方程dUdddoutVinλρсxzyфVλρсxzyxzyфVdфxdфx+dxdфz+dzdфzdфy+dydфydxdydzdфvdUdфxdфx+dxdфz+dzdфzdфy+dydфydxdydzdфvdU2.2.1直角坐标系下的导热微分方程导入微元体的总热流量dфindydzxtxX方向：dxdzytyy方向：dxdyztzz方向：dUdddoutVin导出微元体的总热流量dфoutdydzdxxttxdxx)(X方向：dxdzdyyttydyy)(y方向：dxdydzzttzdzz)(z方向：dфxdфx+dxdфz+dzdфzdфy+dydфydxdydzdфvdUdфxdфx+dxdфz+dzdфzdфy+dydфydxdydzdфvdUxzyxzyxzydUdddoutvin单位时间内热源生成热dфvdxdydzdVV单位时间热力学能的增加dUdxdydztcdU因此：内热源强度фv：单位时间，单位体积的内热源产生的热。dфxdфx+dxdфz+dzdфzdфy+dydфydxdydzdфvdUdфxdфx+dxdфz+dzdфzdфy+dydфydxdydzdфvdUindVdoutddUdxdydztcdxdydzdzzdyydxxVzyx)(Vztzytyxtxtc)]()()([整理得导热微分方程：说明导热微分方程揭示了导热过程中物体的温度随空间和时间变化的函数关系。当λ=常数时cztytxtctV)(222222——直角坐标系非稳定，有内热源，常物性的导热微分方程。导温系数ca几种简化形式的导热微分方程导热系数k=常数：cztytxtatV)(222222无内热源фV=0：)(222222ztytxtat稳态导热:0t0)(222222cztytxtaV稳态导热，无内热源：0222222ztytxt1.导温系数（热扩散率）ca2.物理意义；表示了物体传播温度变化的能力。a越大，材料中温度变化传播得越迅速。a的大小取决于λ和ρc的综合影响。导热系数容积比热对稳态导热：不出现a。非稳态导热：a的高低表示温度传播的快慢。a的数值：油1×10-7＿银2×10m2/s。2.2.2热扩散率的物理意义zzryrx,sin,cos圆柱坐标系中),,(zr导热微分方程：Vztztrrtrrrtc)()(1)(12无内热源，稳态，一维导热微分方程：0)(drdtrdrdxzyzφrxzyzφr2.2.3圆柱坐标系下的导热微分方程球坐标系中),,(rcossinsincossinrzryrx导热微分方程：Vtrtrrtrrrtc)sin(sin1)(sin1)(122222无内热源，稳态，一维导热微分方程：0)(2drdtrdrdzyxrrφθzyxrrφθ2.2.4球坐标系下的导热微分方程定解条件使导热微分方程获得适合某一特定问题的解的附加条件，即获得唯一解的条件。cztytxtctV)(222222导热微分方程定解条件确定的温度场+=定解条件包括四个方面：2.2.5导热问题的定解条件几何条件物理条件时间条件边界条件1.几何条件：参与导热过程的物体的几何形状及尺寸大小。2.物理条件：导热物体的物理性质（ρсλ）,有无内热源。3.时间条件：导热过程时间进行的时间上的特点。稳态导热：无初始条件非稳态导热：给出初始条件),,(0zyxft4.边界条件：说明了导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的换热情况。第一类边界条件给出物体边界上的温度分布及随时间的变化规律。),,,(zyxfqw第二类边界条件给出物体边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律。),,,(zyxftw或：wwntq)(tw(τ)x0t(x,τ)tw(τ)x0t(x,τ)x0t(x,τ)x0qw(τ)t(x,τ)x0x0qw(τ)t(x,τ)恒壁温边界条件（constanttempB.C）consttw第三类边界条件给出边界上物体与周围流体间的表面传热系数h及周围流体的温度tf。)()(fwwtthnt恒热流边界条件（constantheatrateB.C）constqw绝热边界条件（adiabaticB.C）0wqx0t(x,τ)tfhtw(τ)x0t(x,τ)x0t(x,τ)tfhtw(τ)x0qw(τ)t(x,τ)x0x0qw(τ)t(x,τ)•导热微分方程•定解条件第三类边界条件在一定情况下会自动转化为第一类或第二类边界条件。总结导热数学模型物体温度场热流密度•分析解法•数值解法•实验方法•Fourier定律第三类—第一类边界条件第三类—第二类边界条件h非常大：h非常小：x0t(x,τ)tfhtw(τ)x0t(x,τ)x0t(x,τ)tfhtw(τ)例题1.如图，由某种材料组成的大平壁，厚度为0.5m，具有强度等于103W/m3的内热源。在某一瞬时的温度场为t=450-320x-160x2已知λ=24.38W/m.K,c=116J/kg.K,ρ=18070kg/m3,求（1）x=0m和x=0.5m两处的热流密度；（2）该平壁热力学能的变化速率；（3）x=0m和x=0.5m两处温度随时间的变化速率。t=450-320x-160x20xttw1tw2δλсρΦV0.5t=450-320x-160x20xttw1tw2δλсρΦV0.51.第一类边界条件下单层平壁的导热假设；大平壁λ=常数，表面积A，厚度δ，无内热源，平壁两侧维持均匀恒定温度tw1,tw2，且tw1tw2。确定（1）平壁内的温度分布；（2）通过此平壁的热流密度。2.3典型一维稳态导热问题的分析解2.3.1通过平壁的导热0δdxtxxtw1tw2λAф0δdxtxxtw1tw2λAф)10~8(h导热数学描述（导热微分方程+边界条件）022dxtd210.wwttxttxCB求解微分方程，得通解：21cxct由边界条件，求c1，c2：21112,0δdxtxxtw1tw2λAф0δdxtxxtw1tw2λAф平壁内的温度分布：xtttt211温度梯度：21wwttdxdt通过平壁的热流密度：21wwttdxdtq通过平壁的总热流量：21wwttAdxdtAQ0δdxtxxtw1tw2λAф0δ