第八章 格与布尔代数

1第八章格与布尔代数主要内容格的定义及性质子格分配格、有补格布尔代数28.1格的定义与性质定义8.1设S,≼是偏序集，如果x,yS，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个格.求{x,y}最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧，例1设n是正整数，Sn是n的正因子的集合.D为整除关系，则偏序集Sn,D构成格.x,y∈Sn，x∨y是lcm(x,y)，即x与y的最小公倍数.x∧y是gcd(x,y)，即x与y的最大公约数.3图2例2判断下列偏序集是否构成格，并说明理由.(1)P(B),，其中P(B)是集合B的幂集.(2)Z,≤，其中Z是整数集，≤为小于或等于关系.(3)偏序集的哈斯图分别在下图给出.实例(1)幂集格.x,y∈P(B)，x∨y就是x∪y，x∧y就是x∩y.(2)是格.x,y∈Z，x∨y=max(x,y)，x∧y=min(x,y)，(3)都不是格.可以找到两个结点缺少最大下界或最小上界4实例：子群格例3设G是群，L(G)是G的所有子群的集合.即L(G)={H|H≤G}，对任意的H1,H2∈L(G)，H1∩H2是G的子群，H1∪H2是由H1∪H2生成的子群（即包含着H1∪H2的最小子群）.在L(G)上定义包含关系，则L(G)关于包含关系构成一个格，称为G的子群格.在L(G)中，H1∧H2就是H1∩H2H1∨H2就是H1∪H25格的性质：对偶原理定义8.2设f是含有格中元素以及符号=,≼,≽,∨和∧的命题.令f*是将f中的≼替换成≽,≽替换成≼,∨替换成∧,∧替换成∨所得到的命题.称f*为f的对偶命题.例如,在格中令f是(a∨b)∧c≼c,f*是(a∧b)∨c≽c.格的对偶原理设f是含有格中元素以及符号=,≼,≽,∨和∧等的命题.若f对一切格为真,则f的对偶命题f*也对一切格为真.例如,如果对一切格L都有a,b∈L,a∧b≼a，那么对一切格L都有a,b∈L,a∨b≽a注意：对偶是相互的，即(f*)*=f6格的性质：算律定理8.1设L,≼是格,则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律,即(1)a,b∈L有a∨b=b∨a,a∧b=b∧a(2)a,b,c∈L有(a∨b)∨c=a∨(b∨c),(a∧b)∧c=a∧(b∧c)(3)a∈L有a∨a=a,a∧a=a(4)a,b∈L有a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a7证明(1)a∨b是{a,b}的最小上界,b∨a是{b,a}的最小上界.由于{a,b}={b,a},所以a∨b=b∨a.由对偶原理,a∧b=b∧a.(2)由最小上界的定义有(a∨b)∨c≽a∨b≽a(1)(a∨b)∨c≽a∨b≽b(2)(a∨b)∨c≽c(3)由式(2)和(3)有(a∨b)∨c≽b∨c(4)由式(1)和(4)有(a∨b)∨c≽a∨(b∨c)同理可证(a∨b)∨c≼a∨(b∨c)(a∨b)∨c=a∨(b∨c)由对偶原理,(a∧b)∧c=a∧(b∧c)8证明(3)显然a≼a∨a,又由a≼a可得a∨a≼a.根据反对称性有a∨a=a.由对偶原理,a∧a=a得证.(4)显然a∨(a∧b)≽a(5)由a≼a,a∧b≼a可得a∨(a∧b)≼a(6)由式(5)和(6)可得a∨(a∧b)=a,根据对偶原理,a∧(a∨b)=a9格的性质：序与运算的关系定理8.2设L是格,则a,b∈L有a≼ba∧b=aa∨b=b证(1)先证a≼ba∧b=a由a≼a和a≼b可知a是{a,b}的下界,故a≼a∧b.显然有a∧b≼a.由反对称性得a∧b=a.(2)再证a∧b=aa∨b=b根据吸收律有b=b∨(b∧a)由a∧b=a和上面的等式得b=b∨a,即a∨b=b.(3)最后证a∨b=ba≼b由a≼a∨b得a≼a∨b=b10格的性质：保序定理8.3设L是格,a,b,c,d∈L，若a≼b且c≼d,则a∧c≼b∧d,a∨c≼b∨d例4设L是格,证明a,b,c∈L有a∨(b∧c)≼(a∨b)∧(a∨c).证a∧c≼a≼b,a∧c≼c≼d因此a∧c≼b∧d.同理可证a∨c≼b∨d证由a≼a,b∧c≼b得a∨(b∧c)≼a∨b由a≼a,b∧c≼c得a∨(b∧c)≼a∨c从而得到a∨(b∧c)≼(a∨b)∧(a∨c)注意：一般说来,格中的∨和∧运算不满足分配律.11格作为代数系统的定义定理8.4设S,∗,◦是具有两个二元运算的代数系统,若对于∗和◦运算适合交换律、结合律、吸收律,则可以适当定义S中的偏序≼,使得S,≼构成格,且a,b∈S有a∧b=a∗b,a∨b=a◦b.证明省略.根据定理8.4,可以给出格的另一个等价定义.定义8.3设S,∗,◦是代数系统,∗和◦是二元运算,如果∗和◦满足交换律、结合律和吸收律,则S,∗,◦构成格.12子格及其判别法定义8.4设L,∧,∨是格,S是L的非空子集,若S关于L中的运算∧和∨仍构成格,则称S是L的子格.例5设格L如图所示.令S1={a,e,f,g},S2={a,b,e,g}S1不是L的子格,因为e,fS1但e∧f=cS1.S2是L的子格.138.2分配格、有补格与布尔代数定义8.5设L,∧,∨是格,若a,b,c∈L,有a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)则称L为分配格.注意：可以证明以上两个条件互为充分必要条件L1和L2是分配格,L3和L4不是分配格.称L3为钻石格,L4为五角格.实例14分配格的判别及性质定理8.5设L是格,则L是分配格当且仅当L不含有与钻石格或五角格同构的子格.证明省略.推论(1)小于五元的格都是分配格.(2)任何一条链都是分配格.例6说明图中的格是否为分配格,为什么？解都不是分配格.{a,b,c,d,e}是L1的子格,同构于钻石格{a,b,c,e,f}是L2的子格,同构于五角格；{a,c,b,e,f}是L3的子格同构于钻石格.15有界格的定义定义8.6设L是格,(1)若存在a∈L使得x∈L有a≼x,则称a为L的全下界(2)若存在b∈L使得x∈L有x≼b,则称b为L的全上界说明：格L若存在全下界或全上界,一定是惟一的.一般将格L的全下界记为0,全上界记为1.定义8.7设L是格,若L的每个非空子集均有上下确界，则称其为完全格；若L存在全下界和全上界,则称其为有界格,一般将有界格L记为L,∧,∨,0,1.16定理8.6设L,∧,∨,0,1是有界格,则a∈L有a∧0=0,a∨0=a,a∧1=a,a∨1=1注意：有限格L={a1,a2,…,an}是有界格,a1∧a2∧…∧an是L的全下界,a1∨a2∨…∨an是L的全上界.0是关于∧运算的零元,∨运算的单位元；1是关于∨运算的零元,∧运算的单位元.对于涉及到有界格的命题,如果其中含有全下界0或全上界1,在求该命题的对偶命题时,必须将0替换成1,而将1替换成0.有界格的性质17有界格中的补元及实例定义8.8设L,∧,∨,0,1是有界格,a∈L,若存在b∈L使得a∧b=0和a∨b=1成立,则称b是a的补元.注意：若b是a的补元,那么a也是b的补元.a和b互为补元.例7考虑下图中的格.针对不同的元素，求出所有的补元.18解答(1)L1中a与c互为补元,其中a为全下界,c为全上界,b没有补元.(2)L2中a与d互为补元,其中a为全下界,d为全上界,b与c也互为补元.(3)L3中a与e互为补元,其中a为全下界,e为全上界,b的补元是c和d;c的补元是b和d;d的补元是b和c;b,c,d每个元素都有两个补元.(4)L4中a与e互为补元,其中a为全下界,e为全上界,b的补元是c和d;c的补元是b;d的补元是b.19有界分配格的补元惟一性定理8.7设L,∧,∨,0,1是有界分配格.若L中元素a存在补元,则存在惟一的补元.证假设c是a的补元,则有a∨c=1,a∧c=0,又知b是a的补元,故a∨b=1,a∧b=0从而得到a∨c=a∨b,a∧c=a∧b,由于L是分配格,b=c.注意：在任何有界格中,全下界0与全上界1互补.对于一般元素,可能存在补元,也可能不存在补元.如果存在补元,可能是惟一的,也可能是多个补元.对于有界分配格,如果元素存在补元,一定是惟一的.20图9有补格的定义定义8.9设L,∧,∨,0,1是有界格,若L中所有元素都有补元存在,则称L为有补格.例如,图中的L2,L3和L4是有补格,L1不是有补格.21布尔代数的定义与实例定义8.10如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或布尔代数.布尔代数标记为B,∧,∨,,0,1,为求补运算.例8设S110={1,2,5,10,11,22,55,110}是110的正因子集合，gcd表示求最大公约数的运算，lcm表示求最小公倍数的运算，问S110,gcd,lcm是否构成布尔代数？为什么？解(1)不难验证S110关于gcd和lcm运算构成格.(略)(2)验证分配律x,y,z∈S110有gcd(x,lcm(y,z))=lcm(gcd(x,y),gcd(x,z))(3)验证它是有补格,1作为S110中的全下界,110为全上界,1和110互为补元,2和55互为补元,5和22互为补元,10和11互为补元,从而证明了S110,gcd,lcm为布尔代数.22实例例9设B为任意集合,证明B的幂集格P(B),∩,∪,~,,B构成布尔代数,称为集合代数.证(1)P(B)关于∩和∪构成格,因为∩和∪运算满足交换律,结合律和吸收律.(2)由于∩和∪互相可分配,因此P(B)是分配格.(3)全下界是空集,全上界是B.(4)根据绝对补的定义,取全集为B,x∈P(B),~x是x的补元.从而证明P(B)是有补分配格,即布尔代数.23布尔代数的性质定理8.8设B,∧,∨,,0,1是布尔代数,则(1)a∈B,(a)=a.(2)a,b∈B,(a∧b)=a∨b,(a∨b)=a∧b（德摩根律）证(1)(a)是a的补元,a也是a的补元.由补元惟一性得(a)=a.(2)对任意a,b∈B有(a∧b)∨(a∨b)=(a∨a∨b)∧(b∨a∨b)=(1∨b)∧(a∨1)=1∧1=1,(a∧b)∧(a∨b)=(a∧b∧a)∨(a∧b∧b)=(0∧b)∨(a∧0)=0∨0=0a∨b是a∧b的补元,根据补元惟一性有(a∧b)=a∨b,同理可证(a∨b)=a∧b.注意：德摩根律对有限个元素也是正确的.24布尔代数作为代数系统的定义定义8.11设B,∗,◦是代数系统,∗和◦是二元运算.若∗和◦运算满足：(1)交换律,即a,b∈B有a∗b=b∗a,a◦b=b◦a(2)分配律,即a,b,c∈B有a∗(b◦c)=(a∗b)◦(a∗c),a◦(b∗c)=(a◦b)∗(a◦c)(3)同一律,即存在0,1∈B,使得a∈B有a∗1=a,a◦0=a(4)补元律,即a∈B,存在a∈B使得a∗a=0,a◦a=1则称B,∗,◦是一个布尔代数.可以证明，布尔代数的两种定义是等价的.25有限布尔代数的结构定义8.12设L是格,0∈L,若b∈L有0≺b≼ab=a,则称a是L中的原子.实例：(1)L是正整数n的全体正因子关于整除关系构成的格,则L的原子恰为n的全体素因子.(2)若L是B的幂集,则L的原子就是B中元素构成的单元集(3)图中L1的原子是b,c,d,L2的原子是b,c,L3的原子是c,b,e26有限布尔代数的表示定理定理8.9(有限布尔代数的表示定理)设B是有限布尔代数,A是B的全体原子构成的集合,则B同构于A的幂集代数P(A).实例:(1)S110关于gcd,lcm运算构成的布尔代数.它的原子是2,5和11,因此原子的集合A={2,5,11}.幂集P(A)={,{2},{5},{11},{2,5},{2,11},{5,11},{2,5,11}}.幂集代数是P(A),∩,∪,~,,A.只要令f:S110→P(A),f(1)=,f(2)