对称性在积分计算中的应用

潍坊学院本科毕业论文1引言对称性是在生产、科学研究和日常生活中常会遇到的一类特殊的数学问题，它涉及到初高等数学知识的各个方面，解决这类问题往往需要综合运用各种技巧，灵活选用合理的解题途径和方法。解决积分问题的方法多种多样，若仅限定于初等数学方法，解题往往需要较强的技巧，因此高等数学又从对称性的角度找到了便利，它是讨论积分问题的有力武器。对称性的作用在许多工程，经济等方面也非同小可。因此无论从考试角度及能力方面都需要对对称性进行系统的总结。1对称性在积分计算中的应用1.1对称性在计算区间,aa上的定积分的应用性质1对于对称区间,aa上的定积分，有：00()()2()()aaafxxfxdxfxdxfxx如果关于变量为奇函数如果关于变量为偶函数证明：设()fx为奇函数，则()fx=()fx，故：00()()()aaaafxdxfxdxfxdx在第二个式子中令xt，则(1)dxdt，所以：原式00()(1)()aaftdtfxdx00()()aaftdtfxdx0如果()fx为偶函数，证明方法类似于。例1.1已知()fx36xx为定义于闭区间1,1上的函数。求：11()fxdx。解：因为3()6fxxx为定义于定义域上的奇函数，故由上面的性质可得：11()0fxdx例1.2设2242sincos1xxMdxx，2234(sincos)Nxxdx，22234(sincos)Pxxxdx。则有______潍坊学院本科毕业论文2()ANPM()BMPN()CNMP()DPMN解：在M中，因为被积分函数42sincos1xxx是奇函数且积分区域为,22，因此0M。在N中，因被积分函数3sinx是偶函数，4cosx为奇函数，故：2222223434(sincos)sincosxxdxxdxxdx2240cos0xdx在P中，因23sinxx为奇函数，而4cosx为偶函数，从而：22234(sincos)0Pxxxdx1.2对称性在计算平面区域D上的二重积分方面的应用性质2设D关于y轴对称，则有：10(,)(,)2(,)(,)DDfxyxfxydxdyfxydxdyfxyx如果关于变量为奇函数如果关于变量为偶函数[其中1D为D的右半部分：1{(,)0}DxyDx]性质3设D关于x轴对称，则有：20(,)(,)2(,)(,)DDfxyyfxydxdyfxydxdyfxyy如果关于变量为奇函数如果关于变量为偶函数[其中2D是D的上半部分：2{(,)0}DxyDy]性质4设区域D关于x轴和y轴均对称，且(,)fxy关于变量x和y均为偶函数，则有：3(,)4(,)DDfxydxdyfxydxdy[其中3D为D在第一象限内的部分：3{(,)0,0}DxyDxy]潍坊学院本科毕业论文3性质5设D关于原点对称，则有：210(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)DDDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxydxdyfxyfxy如果=2如果[其中1{(,)0}DxyDx，2{(,)0}DxyDy]性质6设积分区域D关于直线yx是对称的,则(,)(,)DDfxydxdyfyxdxdy证明：性质2：对于D上的奇函数(,)fxy有(,)(,)fxyfxy又因为(,)fxy关于y对称，故不妨设(,)fxy定义于[,][,]aacd。则有：00(,)(,)(,)aaDfxydxdyfxydxdyfxydxdy00(,)(,)aaftydtdyfxydxdy00(,)(,)aaftydtdyfxydxdy0同理即可以证明当关于变量是偶函数的情况，以及上面的定理（3）、（4）、（5）、（6）。例1.3设D为xoy平面上的以(1,1)、(1,1)、(1,1)为顶点的三角形区域，1D是D在第一象限内的部分。则(cossin)Dxyxydxdy等于________。解：积分区域如右下图1-1：0D1D2D3(-1,-1)(-1,1)(1,1)xy图1-1则用直线yx可以将区域分成两个区域2D、3D，其中2D关于y轴对称3D关于x轴对称。而1D是2D的右半部分。注意到x,y关于变量x是奇函数，cossinxy关于变量x是潍坊学院本科毕业论文4偶函数，cossinxyxy是关于变量y为奇函数。所以：(cossin)Dxyxydxdy32(cossin)(cossin)DDxyxydxdyxyxydxdy2(cossin)0Dxyxydxdy12cossinDxydxdy例1.4设D：221xy，1D：221xy，x≥0，y≥0,则下列各式中不成立的是___________()A12222141DDxydxdyxydxdy()B14DDxydxdyxydxdy()C32()0Dxxydxdy()D3232DDyxdxdyxydxdy解：因为积分区域D关于x轴或y轴是对称的，又在A中被积分函数221xy对x或y是偶函数，故A成立。而B中被积分函数xy对x或y是奇函数，故0Dxydxdy。对于C因为32xxy关于变量x为奇函数，故32()0Dxxydxdy。而在D中，积分区域关于y=x是对称的，则(,)Dfxydxdy=(,)Dfyxdxdy。故本题选A。例1.5计算二重积分2(52)DIxxdxdy，其中D：221xy解：因为积分区域D关于x轴和y轴对称，而5x和3y分别关于变量x和y为奇函数，故(53)0Dxydxdy。所以：2(532)DIxxydxdy2(2)Dxdxdy潍坊学院本科毕业论文522DDxdxdydxdy21200(cos)2drrdr491.3对称性在计算三重积分方面的应用类似于在二重积分中的应用，对称性在三重积分中又如下性质：性质7设关于坐标面0x是对称的，则110(,,)(,,)2(,,)(,,)fxyzxfxyzdvfxyzdvfxyzx如果关于变量是奇函数如果关于变量是偶函数[其中1是的前半部分：1{(,,)0}xyzx]例1.6设空间区域1：2222xyzR，0z以及2：2222xyzR，0x，0y，0z。则__________()A124xdxdydzxdxdydz()B124ydxdydzydxdydz()C124zdxdydzzdxdydz()D124xyzdxdydzxyzdxdydz解：因为1关于0x，0y均对称，且(,,)fxyzz关于x、y是偶函数，故:124zdxdydzzdsdydz而在A中，被积函数(,,)fxyzx关于x是奇函数。故：10xdxdydz同理可以证明B、D。所以本题选C。例1.7已知是由曲面22Zxy和221xy所围成的区域。计算：()xzdxdydz。解：因为关于坐标面0x对称，且关于x为奇函数，故有0dxdydz，故再潍坊学院本科毕业论文6根据极坐标变换可得：()xzdxdydzxdxdydzzdxdydz0zdxdydz4212000cossinddrrdr81.4对称性在计算第一型曲线积分方面的应用性质8设平面分段光滑曲线L关于y轴对称，则0(,)(,)2(,)(,)LLfxyxfxydsfxydsfxyx如果关于变量是奇函数如果关于变量是偶函数[其中1m是m的右半圆周：1{(,)0}mxymx]例1.8设L为椭圆22143xy，其周长记为a,则Lyxxy)432(22=______解：因为m关于y轴对称，且2xy关于x为奇函数2234xy关于x为偶函数，且其定义于椭圆22143xy上，故22341xy。从而原积分：Lyxxy)432(22LLdsyxxyds)43(222Lds12012a1.5对称性在计算第一型曲面积分方面中的应用性质9设分片光滑的曲面关于坐标面0x对称，则有10(,,)(,,)2(,,)(,,)fxyzxfxyzdsfxyzdsfxyzx如果关于变量是奇函数如果关于变量是偶函数[其中1是的前半部分：1{(,,)|0}xyzx]潍坊学院本科毕业论文7例1.9计算曲面积分：()Sxyzds，其中为上半球面222zaxy解：因为关于坐标面0x和0y均对称。而x和y分别关于变量x和y为奇函数。故有()0Sxyds。又在坐标面0z上的投影为222xya且221xydszzdxdyadxdyz。从而原积分：()SSxyzdszds222xyaadxdy3a1.6对称性在计算第二型曲线积分方面中的应用性质10设分段光滑的平面曲线L关于x轴对称，且在上半平面的部分1L与下半平面的部分2L的方向相反，则(1)若(,)Pxy关于变量y是偶函数，则(,)0LPxydx(2)若(,)Pxy关于变量y是奇函数，则(,)2(,)LLPxydxPxydx证明：由于12LLL,画图如下图1-2图1-21()Lyx，x从1x变到2x1()Lyx，x从2x变到1x，则yxX1X2潍坊学院本科毕业论文812(,)(,)(,)LLLPxydxPxydxPxydx2112[,()][,()]xxxxPxyxdxPxyxdx21[,()][,()]xxPxyxPxyxdx(1)若(,)(,)PxyPxy时，则(,)0LPxydx(2)若(,)(,)PxyPxy时，则21(,)2[,()]xLxPxydxPxyxdx与上面的性质10类似，有下面的性质11：性质11设分段光滑的平面曲线L关于y轴对称，且在右半平面的部分1L与左半平面的部分2L的方向相反，则：(1)若(,)Qxy关于变量x是偶函数，则(,)0LQxydy(2)若(,)Qxy关于变量x是奇函数，则1(,)2(,)LLQxydyQxydy例1.10计算Lxydx，其中L是抛物线2yx上从(1,1)A到(1,1)B的一段弧。解：利用对称性来计算。因为L关于x对称，且方向相反，又被积分函数(,)Pxyxy是y的偶函数，所以0Lxydx。注意：我们可以用下面的计算来验证上面的结果。把上面的积分化成x的定积分来计算：12LLL，画图如下图1-3A(1,-1)B(1,1)0xy图1-31L：yx，x从1变到0；2L：yx，x从0变到1；则潍坊学院本科毕业论文912LLLxydxxydxxydx0110xxdxxxdx1100xxdxxxdx0例1.11计算ABCDAdxdyxy，其中ABCDA是以(1,0)A，(0,1)B，(1,0)C，(0,1)D为顶点的正方形正向边界线。解：应用对称性计算，积分曲线如图1-4：DCAB0xy图1-4ABCDAdxdyxy=ABCDAdxxy+ABCDAdyxy对于第一个积分，因为曲线关于x轴对称，且方向相反，被积分函数1(,)Pxyxy是y的偶函数，所以积分为0。对于第二个积分，因为曲线关