D16-2二元函数的极限

返回后页前页§2二元函数的极限与一元函数的极限相类似，二元函数的极限同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数的增多,导致二元函数的极限有重极限与累次极限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不会出现的.一、二元函数的极限二、累次极限返回2一、二元函数的极限0,0,若f2RD0P定义1设二元函数定义在上,为D的一个聚点,A是一实数.0(;)PUPD使得当时，都有|()|,fPA0lim().PPPDfPA在对PD不致产生误解时,也可简单地写作f0PP则称在D上当时以A为极限,记作(也称为二重极限)0lim().PPfPA30P00(,),(,)xyxy当P,分别用坐标表示时,上式也常写作00(,)(,)lim(,).xyxyfxyA说明：2.定义1中的方式是任意的；0PP1.函数在P0点可以没有定义；4若P以某一种特殊方式趋于P0时,即使f(P)的极限为A，则不能断定二重极限存在.若P以两种不同方式趋于P0时,f(P)的极限不同,则可肯定二重极限不存在.2.定义中的方式是任意的；0PP确定极限不存在的方法：000(1),,(,)PxyPxyfxy（）以某种方式趋近于（）时，不趋近于任何确定数.2(,).fxy（）找两种不同的趋近方式，使趋近于不同的值53.极限定义可推广到三元以上函数中去,且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同.6例1依定义验证22(,)(2,1)lim()7.xyxxyy证因为227xxyy22(4)2(1)xxyy|(2)(2)(2)2(1)(1)(1)|xxxyyyy|2||2||1||3|.xxyyy不妨先限制在点(2,1)的方邻域(,)|2|1,|1|1xyxy内来讨论,于是有7|3||14||1|45,yyy|2||(2)(1)5|xyxy|2||1|57.xy2277|2|5|1|xxyyxy7(|2||1|).xymin(01,)14,,取|2|,|1|xy当(,)(2,1)xy且时,就有所以227.xxyy所以22(,)(2,1)lim()7.xyxxyyε要证8例2设2222(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),xyxyxyfxyxyxy，证明(,)(0,0)lim(,)0.xyfxy证(证法一)0,由222222222202xyxyxyxyxyxy222211(),22xyxyε要证922220,xyxyxy故(,)(0,0)lim(,)0.xyfxy注意不要把上面的估计式错写成：2222222210(),22xyxyxyxyxyxyxy220,2,xy取则当时便有(,)(0,0)xy(,)(0,0),xy因为的过程只要求即220,xy0.xy而并不要求11的充要条件是:对于在0(,)Ux内以x0为极限的,}{nx任何数列)(limnnxf极限都存在且相等.定理3.8（归结原则）0(,).fUx设在有定义存在)(lim0xfxx复习由归结原则，得：000{},{}(),,,nnnnxyUxxxyx(2)若存在但是),(lim)(limnnnnyfBAxf)(lim0xfxx则不存在.00{}(),,lim()nnnnxUxxxfx(1)若存在但不存在；121ED01lim()PPPEfP推论1若,P0是E1的聚点,使不存在,则0lim()PPPDfP也不存在．001212lim()lim()PPPPPEPEfPAfPA与120,,EEDP推论2若是它们的聚点，使得12AA0lim()PPPDfP都存在，但,则不存在．定理16.50lim()PPPDfPA的充要条件是：0lim().PPEPfPA0,EDPE只要是的聚点，就有13推论3极限0lim()PPPDfP存在的充要条件是：D中任一满足条件00lim{},nnnnPPPPP且点列的它所对应的函数列{()}nfP都收敛．1422(,)xyfxyxy(,)(0,0)xy例3讨论当时是否存在极限．(注:本题结论很重要,以后常会用到.)解当动点(x,y)沿着直线而趋于定点(0,0)时，ymx由于2(,)(,)1mfxyfxmxm,2(,)(0,0)0lim(,)lim(,).1xyxymxmfxyfxmxm因此即动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在．m值不同极限不同!15(,)(0,0)lim(,).xyfxy所以不存在210,(,)0yxxfxy，,，其余部分.4例设(,)(0,0)(,).xyfxy讨论当时的极限解(,)(0,0)(,)xyxyfxy当点沿轴或轴时，0,2(,)(01)(0,0)xyykxk当点沿抛物线时，(,)1,fxy(,)(0,0)xyykx当点沿直线时，(,)0,fxy1617(非正常极限)的定义．定义2设D为二元函数f的定义域，000(,)Pxy是D的一个聚点.0,0,M若使得0(,)(;),(,),PxyUPDfxyM都有0PP则称f在D上当时,有非正常极限,记作00(,)(,)lim(,),xyxyfxy(,)fxy下面给出当时,000(,)(,)PxyPxy或0lim().PPfP类似地可定义：00lim()lim().PPPPfPfP与18例5设221(,)23fxyxy.证明(,)(0,0)lim(,).xyfxy证0,M只需取2211,022xyMM当时，就有22221234(),xyxyM这就证得结果．2222234(),xyxy221.23Mxy即1920例(1)求极限.)sin(lim22200yxyxyx解,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1222yxyx22221122xyxxxy,00x.0)sin(lim22200yxyxyxyxu2原式21例(2)求解2222222002sin()2lim()xyxyxyxy222222222002sin()2lim42()2xyxyxyxyxy原式22二、累次极限定义300,,xyxyEERxEyE设是的聚点，是的聚点，y它一般与有关，记作0 lim(),yyLy而且进一步还存在极限的累次极限,记作00()()xxyyf则称此极限为先对后对二元函数00limlim(,).yyxxLfxy.xyfDEE二元函数在集合上有定义00,,lim(,),xyxxxEyEyyfxy若对每一个存在极限0()lim(,);xxyfxy23类似地可以定义先对y后对x的累次极限:00limlim(,).xxyyKfxy注累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间没有蕴涵关系.下面三个例子将说明这一点.24从而有2200limlim0.yxxyxy同理可得即f的两个累次极限都存在而且相等.2200limlim0.xyxyxy22(,)xyfxyxy例6设.2200limxxyyxy但是，当时，22(,)(0,0)3limxyxyxy由例知，二重极限不存在，0,252200limlimyxxyxyxy2200limlimxyxyxyxy当沿斜率不同的直线,(,)(0,0)ymxxy时,有22(,)(0,0)limxyymxxyxyxy即该函数的重极限不存在.它关于原点的两个累次极限分别为例7设,22(,)xyxyfxyxy200limlim(1)1,yyyyyy200limlim(1)1.xxxxxx1,1mm26例8设11(,)sinsinfxyxyyx,010,limsinxyyx不存在，11sinsin||||xyxyyx但(,)(0,0)lim(,)0xyfxy所以，.f即的重极限存在010,limsinyxxy同理不存在，f函数关于原点的两个累次极限都不存在.0(0,0),xy27（1）两个累次极限存在且相等，但二重极限可能不存在.注：二重极限),(lim00yxfyyxx不同：),(limlim00yxfyyxx与累次极限（2）二重极限存在，但两个累次极限可能都不存在.28定理16.6若f(x,y)的重极限与00(,)(,)lim(,)xyxyfxy累次极限00limlim(,)xxyyfxy都存在,则两者必定相等.证设00(,)(,)lim(,),xyxyfxyA0,0,0(,)(;)PxyUP则使得当时,有|(,)|.(1)fxyA00||(2)xx的x,存在极限又由累次极限存在,0lim(,)().(3)yyfxyx对任一满足不等式29|()|.(4)xA0yy对不等式(1)取极限,即有故由(2),(4)两式,得0lim()xxxA0000(,)(,)limlim(,)lim(,).xxyyxyxyfxyfxyA由(3)可得0lim|(,)|,yyfxyA所以3000limlim(,)xxyyfxy00limlim(,)yyxxfxy,推论1若重极限和累次极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxy都存在,则三者必定相等.推论2若累次极限0000limlim(,)limlim(,)xxyyyyxxfxyfxy与都存在但不相等,则重极限00(,)(,)lim(,)xyxyfxy必定不存在.注:推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件推论2可被用来否定重极限的存在性(如例7).31注意:定理16.6保证了在重极限与一个累次极限都存在时,它们必相等.但对另一个累次极限的存在性却得不出什么结论.1(,)sinfxyyx例如，，(0,0)在点的累次极限：001limlimsinxyyx001limlimsinyxyx0,不存在.1sinyyx又0(0,0),xy(,)(0,0)1limsin0.xyyx所以320000(,)(,)()fxyPxyUP在点的某邻域内例设,:有定义且满足0lim(,)();xxfxyy00(i)(),UPyy在内,对每个存在极限0(ii)()UPx在内,关于一致地存在极限0lim(,)().yyfxyx试证明:0000limlim(,)limlim(,).xxyyyyxxfxyfxy33证01(lim())0,(ii),yyyA证明存在由条件00,0||(xyy对一切存在公共的只要并0(,)()),xyUP使便有|(,)()|.2fxyx00||,yy于是当时又有|(,)(,)||(,)()|fxyfxyfxyx|(,)()|.fxyx340,(i)xx再令由条件又得|()()|.yy根据柯西准则,证得0lim().yyyA存在02(lim())0,xxxA证明由|()||()(,)|xAxfxy|(,)()||()|,fxyyyA10(,)(),xyUPy当且与利用条件(ii)与结论,0y35,充分接近时可使|()(,