圆锥曲线综合练习及答案

1圆锥曲线综合练习例1、椭圆12322yx内有一点P（1，1），一直线过点P与椭圆相交于P1、P2两点，弦P1P2被点P平分，求直线P1P2的方程。（2x+3y-5=0）备份：1.过椭圆141622yx内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线方程。2.椭圆1449422yx内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，求这弦所在直线的方程.变式1、若椭圆122byax与直线1yx交于A、B两点，且22||AB，又M为AB的中点，若O为坐标原点，直线OM的斜率为22，求该椭圆的方程。（132322yx）变式2、斜率为1的直线与双曲线1222yx相交于A、B两点，又AB中点的横坐标为1。（1）求直线的方程（2）求线段AB的长（1）y=x+1(2)AB=62变式3、已知抛物线xyC42：的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B两点。（1）若的方程；求直线l,316|AB|（2）求|AB|的最小值变式4、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为23，且经过点4,1M，直线mxyl:交椭圆于不同的两点A，B.（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围。例2、已知椭圆C:22221(0)xyabab的一个顶点为(2,0)A,离心率为22.直线(1ykx）与椭圆C交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)当△AMN得面积为103时,求k的值.解:(1)由题意得222222acaabc解得2b.所以椭圆C的方程为22142xy.2(2)由22(1)142ykxxy得2222(12)4240kxkxk.设点M,N的坐标分别为11(,)xy,22(,)xy,则11(1)ykx,22(1)ykx,2122412kxxk,21222412kxxk.所以|MN|=222121()()xxyy=221212(1)[()4]kxxxx=2222(1)(46)12kkk.由因为点A(2,0)到直线(1ykx）的距离2||12kdk,所以△AMN的面积为221||46||212kkSMNdk.由22||4610123kkk,解得1k.变式1、错误!未指定书签。已知21FF分别是椭圆C:22ax+22by=1(0ba)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是直线2AF与椭圆C的另一个交点,1260FAF.(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)已知1AFB面积为403,求,ab的值【解析】(I)1216022cFAFacea(Ⅱ)设2BFm;则12BFam在12BFF中,22212122122cos120BFBFFFBFFF2223(2)5ammaamma[来源:学|科|网Z|X|X|K]1AFB面积211133sin60()40310,5,532252SFFABaaaacb变式2、已知抛物线C：22yx，直线2ykx交C于AB，两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k使0NANB，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．解、（Ⅰ）如图，设211(2)Axx，，222(2)Bxx，，把2ykx代入22yx得2220xkx，由韦达定理得122kxx，121xx，xAy112MNBO31224NMxxkxx，N点的坐标为248kk，．设抛物线在点N处的切线l的方程为284kkymx，将22yx代入上式得222048mkkxmx，直线l与抛物线C相切，2222282()048mkkmmmkkmk，mk．即lAB∥．（Ⅱ）假设存在实数k，使0NANB，则NANB，又M是AB的中点，1||||2MNAB．由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222Myyykxkxkxx22142224kk．MNx轴，22216||||2488MNkkkMNyy．又222121212||1||1()4ABkxxkxxxx2222114(1)11622kkkk．22216111684kkk，解得2k．即存在2k，使0NANB．例3、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：2kxy与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2OBOA(其中O为原点)，求k的取值范围。解：（Ⅰ）设双曲线方程为22221xyab).0,0(ba由已知得.1,2,2,32222bbaca得再由故双4曲线C的方程为.1322yx（Ⅱ）将得代入13222yxkxy.0926)31(22kxxk由直线l与双曲线交于不同的两点得2222130,(62)36(13)36(1)0.kkkk即.13122kk且①设),(),,(BBAAyxByxA，则22629,,22,1313ABABABABkxxxxOAOBxxyykk由得而2(2)(2)(1)2()2ABABABABABABxxyyxxkxkxkxxkxx2222296237(1)22.131331kkkkkkk于是222237392,0,3131kkkk即解此不等式得.3312k②由①、②得.1312k故k的取值范围为33(1,)(,1).33例4、已知椭圆2222+=1xyab(0)ab,点52(,)52Paa在椭圆上.(I)求椭圆的离心率.(II)设A为椭圆的右顶点,O为坐标原点,若Q在椭圆上且满足||||AQAO,求直线OQ的斜率的值.错误!未找到引用源。解:因为点52(,)52Paa在椭圆上,故22222251528aaaabb,于是222222318abbeaa,所以椭圆的离心率64e(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为ykx,设点Q的坐标为00(,)xy5变式1、已知椭圆221:14xCy,椭圆2C以1C的长轴为短轴,且与1C有相同的离心率.(1)求椭圆2C的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆1C和2C上,2OBOA,求直线AB的方程.变式2、在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆1C:22221xyab(0ab)的左焦点为11,0F且点0,1P在1C上.(Ⅰ)求椭圆1C的方程;(Ⅱ)设直线l同时与椭圆1C和抛物线2C:24yx相切,求直线l的方程.解析:(Ⅰ)由左焦点11,0F可知21c,点0,1P在1C上,所以2222011ab,即21b,所以2222abc,于是椭6圆1C的方程为2212xy.(Ⅱ)显然直线l的斜率存在,假设其方程为ykxb.联立2212xyykxb,消去y,可得222214220kxkbxb,由2224421220kbkb可得22210kb①.联立24yxykxb,消去y,可得222240kxkbxb,由2222440kbbk可得1kb②.由①②,解得222kb或222kb,所以直线方程为222yx或222yx.变式3、设点P的轨迹为曲线C，直线1ykx与曲线C交于A、B两点.（1）求出C的方程；（2）若k=1，求AOB的面积；（3）若OAOB，求实数k的值。解（1）2214yx（2）由2221523044yxxxxy1231,538(1,0),(,)55xxAB故1841255AOBs（3）设1122(,),(,)AxyBxy由122(4)2302244230,,12122244ykxkxkxxykxxxxkk又2121212120(1)()10OAOBxxyykxxkxx①代入②得：241012kk例5、如图,直线y=21x与抛物线y=81x2－4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时,①②7求ΔPAB面积的最大值.解(1)解方程组481212xyxy得2411yx或4822yx即A(－4,－2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAB==21,直线AB的垂直平分线方程y－1=21(x－2).令y=－5,得x=5,∴Q(5,－5)．(2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,81x2－4).∵点P到直线OQ的距离d=24812xx=3282812xx,25OQ,∴SΔOPQ=21dOQ=3281652xx.∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,∴－4≤x43－4或43－4x≤8.∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8]上单调递增,∴当x=8时,ΔOPQ的面积取到最大值30．变式1、已知直线L与抛物线2y=x相交于A（1,1yx）、B（2,2xy）两点，若y1y2=-1(1)求证：直线L过定点M，并求点M的坐标。（0，-1）（2）求证：OAOB。（3）求AoB的面积的最小值.变式2、已知抛物线y2=2px(p0).过动点M（a,0)且斜率为1直线L与该抛物线交于A、B两点，又iABi2P.(1)求a的取值范围。（-2p，2p（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值。（22p)[解析]：（Ⅰ）直线l的方程为axy，将pxyaxy22代入，得0)(222axpax．设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为),(11yxA、),(22yxB，则.),(2,04)(42212122axxpaxxapa又axyaxy2211,，∴221221)()(||yyxxAB]4)[(221221xxxx)2(8app．∵0)2(8,2||0apppAB，∴papp2)2(80．解得42pap．（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为),(33yx，则由中点坐标公式，得paxxx2213，paxaxyyy2)()(221213．8∴22222)0()(||ppapaQM．又MNQ为等腰直角三角形，∴pQMQN2||||，∴||||21QNABSNAB||22ABppp22222p即NAB面积最大值为22p变式3、如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，12）到抛物线C：2y=2px（P＞0）的准线的距离为54。点M（t，1）是C上的定点，A、B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。（1）求p,t的值。（2）求△ABP面积的最大值。解（1）由题意得215124ptp，得121pt.（2）设1122(,),,AxyBxy，线段AB的中点坐标为(,)Qmm由题意得，设直线AB的斜率为k（k0）.由2112222px2pxyy，得211221()()()yyyykxx，得21km所以直线的方程为1()2ymxmm，即2220xmymm.由22220xmymmyx，整理得22220ymymm，所以