解析几何中的定点和定值问题

1解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。例1、已知A、B是抛物线y2=2px(p0)上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。例2．已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20xy相切．⑴求椭圆C的方程；⑵设(4,0)P，M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．【针对性练习1】在直角坐标系xOy中，点M到点13,0F，23,0F的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线:lykxb与轨迹C交于不同的两点P和Q．⑴求轨迹C的方程；⑵当0APAQ时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922yx的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（mt,）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M),(11yx、),(22yxN，其中m0,0,021yy。（1）设动点P满足422PBPF,求点P的轨迹；（2）设31,221xx，求点T的坐标；（3）设9t,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。AByOx2【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：0ykxmk与椭圆交于不同的两点MN、（MN、不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．例3、已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24xy的焦点，离心率25e，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点。（I）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点(,0)Mm是线段OF上的一个动点，且()MAMBAB，求m的取值范围；（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。二、定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果，；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。如果试题是客观题形式出现，特珠化方法往往比较奏效。例4、已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A、B两点，)1,3(aOBOA与共线。（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且),(ROBOAOM，证明22为定值。例5、已知，椭圆C过点A3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。将第二问的结论进行如下推广：结论1.过椭圆22221(0,0)xyabab+=上任一点00(,)Axy任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值2020bxay（常数）。3结论2.过双曲线22221(0,0)xyabab-=上任一点00(,)Axy任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值2020bxay-（常数）。结论3.过抛物线22(0)ypxp=上任一点00(,)Axy任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于E、F两点，则直线EF的斜率为定值0py-（常数）。例6、已知椭圆的中心在原点，焦点F在y轴的非负半轴上，点F到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F距离的最大值是6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e；(Ⅱ)若F为焦点F关于直线32y的对称点，动点M满足MFeMF，问是否存在一个定点A，使M到点A的距离为定值？若存在，求出点A的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.例7、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点．(Ⅰ)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；(Ⅱ)若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．例8、已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21，离心率为2e2﹒（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点1,0作直线交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，MPMQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由﹒三、定直线问题例9、设椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1)M，且焦点为1(2,0)F（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C相交与两不同点,AB时，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，证明：点Q总在某定直线上例10、已知椭圆C的离心率3e2，长轴的左右端点分别为1A2,0，2A2,0。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线xmy1与椭圆C交于P、Q两点，直线1AP与2AQ交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。4四、其它定值问题例11、已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程为33x（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆22:2Oxy上动点0000(,)(0)Pxyxy处的切线，l与双曲线C交于不同的两点,AB，证明AOB的大小为定值.例12、己知椭圆12222byax（ab0）,过其中心O的任意两条互相垂直的直径是P1P2、Q1Q2，求证：以两条直径的四个端点所成的四边形P1Q1P2Q2与一定圆相切。探索定圆：取椭圆长轴和短轴为两直径，则22BA的方程为1byax，原点O到直线22BA的距离为22baabr，则与菱形2211BABA内切的圆方程为222222babayx。例13、已知P),(00yx是双曲线)0(2aaxy上的一个定点，过点P作两条互相垂直的直线分别交双曲线于P1、P2两点（异于P点），求证：直线P1P2的方向不变。探索定值：取P),(020xax，过P点且互相垂直的直线中有一条过原点，则这一条直线与曲线的另一个交点),(0201xaxP，其斜率2021xakPP2202axkPPPP2的方程为)(02200xxaxyy把xay2代入解得),(2303042axxaP22021axkPP（定值）证明：设PP1的斜率为k，则PP2的斜率为－k1，∴PP1的方程为)(00xxkyyPP2的方程为)(100xxkyy，与抛物2axy联立解得),(0201ykakyP、),(0202kyakyP，从而22020221axyakPP（定值）OxyP1Q1P2Q2A1A2B1B2xPP1P2yO5EX：过抛物线y2=2px（P0）上一定点（x0,y0）作两条直线分别交抛物线于A，B两点，满足直线PA、PB斜率存在且倾斜角互补，则AB的斜率为定值。推广：抛物线推广到椭圆或双双曲线均可。五、练习1、椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为22，三角形ABM的三个顶点都在椭圆上，其中M点为（1，1），且直线MA、MB的斜率之和为0。（1）求椭圆的方程。（2）求证：直线AB的斜率是定值。分析：（1）x2+2y2=3（2）122、已知定点)01(，C及椭圆5322yx，过点C的动直线与椭圆相交于AB，两点.（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是12，求直线AB的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使MBMA为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.分析：M（73，0）493、已知不垂直于x轴的动直线l交抛物线y2=2mx（m0）于A、B两点，若A、B两点满足∠AQP=∠BQP，若其中Q点坐标为（-4，0），原点O为PQ中点。（1）证明：A、P、B三点线；（2）当m=2时，是否存在垂直于x轴的直线l‘，使得l‘被以PA为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在求出l’的方程。分析：设点AB的坐标（2）l：x=3.4、已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形。（1）求椭圆的方程。（2）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD,连结CM交椭圆于点P，证明：OMOP为值。（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于C的定点Q，使得以MP为直径的圆过直线DP，MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标。分析：（1）22142xy（2）由O、M、P三点共线，得42pmpyyx，所以OMOP=4（3）设Q点（a，0），由0QMDP，得a=0.65、设P为双曲线22221(,0)xyabab上任意一点，F1，F2是双曲线的左右焦点，若12PFPF的最小值是-1，双曲线的离心率是233。（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C的右焦点F2的直线交双曲线于A、B两点，过作右准线的垂线，垂足为C，求证：直线AC恒过定点。分析：（1）2213xy（2）先猜再证：（74，0）1217144yyx换掉x1代入韦达定理得证。方法二：设AB：ｘ＝ｍｙ＋２代入方程得：（ｍ２－３）ｙ２＋４ｍｙ＋１＝０故1221224313myymyymAC：12213()322yyyxyx=1212122113()21212yyyymyyyxmymy又2my1y2=-12（y1+y2）然后代入韦达定理得。6、在平面直角坐标系xOy中,Rt△ABC的斜边BC恰在x轴上，点B(－2,0)，C（2，0），且AD为BC边上的高。(I)求AD中点G的轨迹方程；(II)若过点(1,0)的直线l与(I)中G的轨迹交于两不同点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使PE·QE恒为定值λ？若存在，求出点E的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由。分析：（1）221(0)4xyy（2）m=178定值为3364不容易先猜出，只能是化简求出。7、已知直线l过椭圆E：2222xy的右焦点F,且与E相交于P，Q两点。（1）设1()2OROPOQ，求点R的轨迹方程。（2）若直线l的倾斜角为60，求11||||PFQF的值。（当l的倾斜角不定时，可证11||||PFQF是定值。）分析：2220xyx（2）可先猜再证:227解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问