材料力学第八章组合变形

第八章组合变形组合变形和叠加原理拉伸或压缩与弯曲的组合扭转与弯曲的组合目录一、组合变形的概念构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形.二、解决组合变形问题的基本方法－叠加法叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之间成线性关系.§8-1组合变形和叠加原理l基本变形u拉伸、压缩u剪切u弯曲u扭转叠加原理如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而得到，且与各组载荷的加载次序无关。l叠加原理成立的条件(1)应力应变关系为线性关系，即满足胡克定律；(2)变形是小变形，可以用原始尺寸原理。下面的讨论，都假设用叠加原理的条件成立。压弯组合变形三、组合变形工程实例10-1拉弯组合变形组合变形工程实例1.外力分析将外力简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形,使之每个力（或力偶）对应一种基本变形3.应力分析画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理将基本变形下的应力和变形叠加,建立危险点的强度条件四、处理组合变形的基本方法2.内力分析求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形研究内容斜弯曲拉（压）弯组合变形弯扭组合变形外力分析内力分析应力分析FlaS一、受力特点杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲组合变形作用在杆件上的外力既有轴向拉(压)力,还有横向力二、变形特点§8-2拉伸（或压缩）与弯曲的组合FF1产生弯曲变形F2产生拉伸变形FyFxFy产生弯曲变形Fx产生拉伸变形F1F2F2示例1示例2三、内力分析xyOzMzFN横截面上内力2.弯曲1.拉(压):轴力FN弯矩Mz剪力Fs因为引起的切应力较小,故一般不考虑.FS横截面上任意一点（z,y）处的正应力计算公式为四、应力分析1.拉伸正应力2.弯曲正应力AFNzzIyMzzIyMAFNxyOzMzFN(z,y)轴力所以跨中截面是杆的危险截面2NFFF1F2F2l/2l/241maxlFM3.危险截面的确定作内力图弯矩xxFN图M图F2F1l/4拉伸正应力最大弯曲正应力AF2WlFWM41maxmax杆危险截面下边缘各点处上的拉应力为WlFAF412maxmaxt4.计算危险点的应力F1F2F2l/2l/2AF2-WMmax当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件.五、强度条件由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件为:][max][tmaxt][cmaxc例1已知：P=8kN,AB为工字钢，材料为A3钢，[]=100MPa。解：求:工字钢型号。AB受力如图这是组合变形问题压弯组合。取AB,受力如图l求约束反力0)(FAMkN42FkN,40HkN8.12Vl内力图l危险截面C截面kNm,12CMkN40Nl设计截面的一般步骤u先根据弯曲正应力选择工字钢型号；u再按组合变形的最大正应力校核强度，必要时选择大一号或大二号的工字钢；u若剪力较大时，还需校核剪切强度。l按弯曲正应力选择工字钢型号WMC3cm120][][CMW选16号工字钢,cm1413W2cm13.26Al按最大正应力校核强度maxcWMANCMPa5.100][可以使用l本题不需要校核剪切强度拉(压)弯组合变形时，危险点的应力状态是单向应力状态。例题2小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力[t]=30MPa,许用压应力[c]=160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力F.yzz0z15050150150350FF解：（1）确定形心位置A=1510-3m2z0=7.5cmIy=5310cm4计算截面对中性轴y的惯性矩yzz0z15050150150350FFFnnFNMy（2）分析立柱横截面上的内力和应力在n-n截面上有轴力FN及弯矩MyFFMFFy22N105.42]10)5.735[(nn350FFyzz0z15050150150由轴力FN产生的拉伸正应力为MPa15NFAFFnnFNMynnyzz0z1350FF5050150150由弯矩My产生的最大弯曲正应力为)(MPa53105.74250maxtFIzMyy)(MPa53105.124251maxcFIzMyy5050150150yzz0z1拉nn350FFFnnFNMy（3）叠加在截面内侧有最大拉应力][53105.742515tmaxtmaxtFF[F]45.1kN5050150150yzz0z1拉压nn350FFFnnFNMy在截面外侧有最大压应力[F]171.3kN[F]45.1kN所以取][53105.12425cmaxcmaxcFAF5050150150yzz0z1拉压nn350FFFnnFNMylABCF研究对象:圆截面杆受力特点:杆件同时承受转矩和横向力作用变形特点:发生扭转和弯曲两种基本变形§8-3扭转与弯曲的组合一、内力分析设一直径为d的等直圆杆AB,B端具有与AB成直角的刚臂.研究AB杆的内力.将力F向AB杆右端截面的形心B简化得横向力F（引起平面弯曲）力偶矩M=Fa（引起扭转）AB杆为弯曲与扭转局面组合变形BAFMxlABCF画内力图确定危险截面固定端A截面为危险截面AAFMMFlA截面C3C4TC3C4C2C1二、应力分析危险截面上的危险点为C1和C2点最大扭转切应力发生在截面周边上的各点处.C2C1危险截面上的最大弯曲正应力发生在C1、C2处对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆,这两点的危险程度是相同的.可取任意点C1来研究.C1点处于平面应力状态,该点的单元体如图示C1三、强度分析1.主应力计算C12222314212)2(2022.相当应力计算第三强度理论,计算相当力22313r4第四强度理论,计算相当应力224r33.强度校核][r该公式适用于图示的平面应力状态.是危险点的正应力,是危险点的切应力.且横截面不限于圆形截面讨论22313r4224r3C1该公式适用于弯扭组合变形;拉（压）与扭转的组合变形;以及拉（压）扭转与弯曲的组合变形（1）弯扭组合变形时,相应的相当应力表达式可改写为WTMWTWM222t2223r)(4)(4WTMWTWM222t2224r75.0)(3)(3（2）对于圆形截面杆有3t216dWWC1式中W为杆的抗弯截面系数.M,T分别为危险截面的弯矩和扭矩.以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆.34l内力图如图l危险截面E截面E截面的内力2DPTlabPMrymaxlPabMzmax35l对圆截面杆可将两个方向的弯矩按矢量合成。2max2maxzyMMMl危险点的应力u扭转切应力tWTu弯曲正应力WMu弯曲切应力一般可忽略l矩形截面杆的弯扭组合变形问题u两个方向的弯矩不宜合成，可分别计算应力。u扭转切应力按矩形截面扭转公式计算。2maxhbT例3(书例8.5)已知：传动轴,45号钢，d=35mm,[]=85Mpa,输入功率N=2.2kW，n=966r/min。D=132mm，F+f=600N。齿轮E的d1=50mm。求：校核轴的强度。解：l求外力nNm9549Nm7.21u力偶矩u皮带张力mDfF2)(又600fFN,465FN135fu齿轮作用力mdPn220cos1N925nPN,870PN,316rPN,542yyfFN257xxfF,mml将各力向轴线简化N,870PN,316rPN,542yyfFN257xxfFl画出内力图l危险截面B截面,mml危险截面B截面lB截面内力m,N7.21T22zyMMMNm7.26l强度校核按第三强度理论校核2231TMWrMPa18.3][安全例4(书例8.6)已知:曲轴,碳钢,各几何尺寸已知。P=32kN,F=17kN,曲柄的惯性力C=3kN,平衡重的惯性力C1=7kN,[]=120MPa。求：校核曲轴的强度。解：l求外力kN,2021RRNm1020FrmkN,5.821HH对主轴的扭矩(1)连杆轴颈的强度计算l危险截面连杆轴颈的中点zMmN11702/)(2/11lCCLRyMNm5532/1LH22yzMMMNm1290TNm510rH1l强度校核按第四强度理论22475.01TMWrMzMyTQzQyl计算内力取左半部分MPa111][(2)主轴颈的强度计算l危险截面II-II截面MzMyTQzQyzMNm440aR2yMNm187aH222yzMMMNm478TNm1020ml强度校核按第四强度理论22475.01TMWrMPa4.47][l计算内力取右段(3)曲柄的强度计算l危险截面III-III截面u取下半部分l计算内力NkN1312CRxMNm7652/2dHmQzQxzMNm660)2/(2baRTMyNm281)2/(2baHzQkN5.82HxQ0QzQxA点,l强度校核u危险点B点。uA点A单向应力状态bhNxxWMzzWMMPa106][uB点B平面应力状态bhNzzWMMPa86本题中：mm,102hmm,22b64.4/bh作线性插值，得：287.0MPa8.191s扭转切应力2maxhbT系数根据比值h/b查表3.2(p.116)确定。49s弯曲切应力QzQxbhQz23221MPa68.5MPa5.25B点的两种切应力方向相同。B点的应力状态如图。2243rMPa7.96][安全例题5F1=0.5kN,F2=1kN,[]=160MPa.（1）用第三强度理论计算AB的直径（2）若AB杆的直径d=40mm,并在B端加一水平力F3=20kN,校核AB杆的强度.F1F2ABCD400400F1F2ABC400400Me解:将F2向AB杆的轴线简化得AB为弯扭组合变形F1F2ABCD400400mkN4.0kN1e2MF固定端截面是危险截面mkN4.0mkN8.04.08.0max21maxTFFMWTM2max2max3rmm5.38dF3AB为弯,扭与拉伸组合变形固定端截面是危险截面（2）在B端加拉力F3F3F1F2ABC400400MeF1F2ABCD400400mkN4.0mkN8.04.08.0max21maxTFFMkN203NFF固定端截面最大的正应力为最大切应力为F3F3F1F2ABC400400MeF1F2ABCD400400MPa143NmaxmaxAFWMzMPa8.31tmaxmaxWTMPa1574223r由第三强度理论小结1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法2、掌握拉（压）弯组合变形杆件的应力和强度计算3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度条件和强度计算