小学六年级数学竞赛讲座第14讲 平面到立体

第十四讲平面到立体模块一、平面图形旋转与轨迹例1．（1）小明家的院内有一间地基是边长600厘米的正方形杂物间。小明用一条长14米的绳子将狗拴在杂物间的一角，现在狗从A地出发将绳子拉紧按顺时针方向跑，可以跑米。（π取3）（2）有一个边长为3厘米的等边三角形，现在将它按下图所示滚动，请问B点从开始到结束经过的路线的总长度是厘米，（π取3.14）解：（1）600厘米=6米，狗跑的是三个14圆弧，半径分别为14米、8米和2米，所以长度是14×(28π+16π+4π)=12π=36。（2）由图中可以看出，B点经过的路线是三段圆弧，圆弧的半径是3厘米，所对的圆心角是120°，三段弧合起来正好是一个圆的周长，所以路线的总长度是2×π×3=6π=18.84厘米。例2．（1）图中，一只小狗被拴在边长是4米的等边三角形建筑物的墙角，绳子长6米，这只小狗所能达到的总面积是多少平方米？（狗的长度不计算，用含π的式子表示）（2）如图，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，若AB=4，BC=3，AC=5，则AD扫过部分的面积是。（π取3.14）解：（1）由图可以看出，小狗圈出的图形是一个半径为6米，圆心角是结束开始ABABCABCCBA结束开始ABABCABCCBAD'A'B'DABCDCBAA28146A300°的扇形和两个半径为2米，圆心角都是120°的扇形组成的。所以总面积=225162263=30π+83=3223。（2）红线画出的部分是AD扫过的面积，这是由以C圆心AC为半径画出的扇形CAA’和△CA’D’与C圆心CD为半径画出的扇形CDD’和△ADC的差得到的图形，又△CA’D’与△ADC面积相等所以面积是14×(π×52−π×42)=94=7.065.例3．如图，一个直径为1厘米的圆绕边长是2厘米的正方形滚动一周后回到原来的位置，在这个过程中，圆面覆盖过的区域（阴影部分）的面积是平方厘米。（π取3）解：阴影部分的面积是四个小长方形（长为2，宽为1）和一个圆（半径为1）组成的图形的面积，所以S=4×2×1+π×12=8+3=11（平方厘米）。模块二、立体图形旋转与轨迹：例4．把直角三角形ABC沿直角边AB和BC分别旋转一周，得到两个圆锥（单位：米），如图，谁的体积大？大多少？（结果保留π）解：沿AB为轴旋转一周得到的圆锥的底面圆的半径为3，高为6，体积是2136183（立方米）；沿BC为轴旋转一周得到的圆锥的底面圆的半径为6，高为3，体积是2163363（立方米）；所以以BC为轴旋转得到的圆锥的体积大，大18π立方米。例5．如图，从正方形ABCD上截去长方形DEFG，其中AB=1厘米，DE=12厘米，DG=13厘米，将ABCGFE以GC边为轴旋转一周，所得的几何体的表面积是平方厘米，体积是立方厘米。（结果用π表示）解：所得的几何体是一个大圆柱内挖掉一个小圆柱，上下看的底面上2×π×12=2π，侧面是2π×1×1+2π×12×13=213π，所以表面积=413π（平方厘米）；D'A'B'DABC63ABC体积V=π×12×1−π×(12)2×13=1112（立方厘米）。例6．已知，直角梯形ABCD，2AB=DC，AB=BC=5厘米，梯形以BC为轴旋转一周，则白色部分扫出来的立体图形的体积是立方厘米。（π取3.14）解：AB=BD=5厘米，所以CD=2AB=10厘米，白色部分扫出来的立体图形是一个圆台挖掉一个圆锥，所以体积V=13×π×5×(102+10×5+52)−13×π×52×5=250π=785（立方厘米）。随堂测试1．一条直线上放着一个长方形I，它的长与宽分别是4厘米与3厘米，对角线长是5厘米，让这个长方形绕顶点A顺时针旋转90度到达长方形II的位置，此时D到达D1点的位置；再让长方形II绕D1点顺时针旋转90度，到达长方形III的位置，此时C到达C2的位置；再让长方形III绕顶点C2顺时针旋转90度到达长方形IV的位置，此时B点到达B3的位置；再让长方形IV绕顶点B3顺时针旋转90度到达长方形V的位置，此时A点到达A3的位置，求A点所经过的总距离。（取π≈3）解：VIVIIIIIIA3B3D3C3A2B2C2D2D1A1B1C1ABCDVIVIIIIIIA3B3D3C3A2B2C2D2D1A1B1C1ABCD由图形可以看出，A点所经过的路程是1AA、12AA、23AA，三段圆弧的半径分别为3、5、4，圆心角都是90°，所以全长=12(354)64≈18。2．一只狗被拴在底座是边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳子长4米，求狗所能到的地方的总面积。（π取3.14）解：小狗所能到的地方是一个半径为4，圆心角为300°的扇形和2个半径为1，圆心角是120°的扇形组成的，所以总面积=225142163=14π=43.96（平方米）。3．如图，直角三角形ABC中，∠B为直角，且BC=2厘米，AC=4厘米，则将△ABC绕点C顺时针旋转120°的过程中，AB扫过图形的面积为多少平方厘米？（π取3.14）解：AB扫过的图形是△ABC和扇形ACA’组成的图形减去△A’B’C和扇形CBB’所组成的图形，又△ABC与△A’B’C的面积相等，两个扇形的圆心角都是120°，半径分别为4和2，所以AB扫过的面积是两个扇形的差，且AC=4，BC=2，即S=221(42)43=12.56（平方厘米）.4．三角形的面积24平方厘米，斜边长10厘米，将它以O点为中心旋转90°，问：三角形扫过的面积是多少？（π取3.14）解：三角形扫过的面积是三角形的面积与一个扇形的面积的和，三角形的面积是24平方厘米，扇形的圆心角是90°，半径为10厘米，所以S=24+211024254=24+78.5=102.5（平方厘米）。5．如图一个直角梯形ABCD，以BC为轴旋转一周所得几何体的体积是多少？（π取3.14）解：旋转得到的是一个圆台，A'B'ABC3ABC1286ABCD10厘米OAA'圆台的体积是V=221(121266)83=672π=2110.08.解2：讲DA和CB延长相交于O，得到CO=8，圆台的体积是大圆锥的体积减去小圆锥的体积，所以V=221112166833=672π=2110.08.