第四章 综合指标2

第三节平均指标平均指标指在同质总体内将各单位某一数量标志的差异抽象化，用以反映总体在具体条件下的一般水平。特点：1.将数量差异抽象化。2.只能就同类现象计算。3.能反映总体变量的集中趋势。VAR00001174.0173.0172.0171.0170.0169.0168.0167.0166.0165.0164.0163.0162.0161.0160.0159.0158.0157.0156.0155.0154.0153.0152.014121086420Std.Dev=4.86Mean=163.3N=83.0083名女生的身高分布的集中趋势、中心数值算术平均数一名统计学家遇到一位数学家，统计学家调侃数学家说道：“你们不是说若Ｘ＝Ｙ且Ｙ＝Ｚ，则Ｘ＝Ｚ吗！那么想必你若是喜欢一个女孩，那么那个女孩喜欢的男孩你也会喜欢喽！？”数学家想了一下反问道：“那么你把左手放到一锅一百度的开水中，右手放到一锅零度的冰水里想来也没事吧！因为它们平均的温度不过是五十度而已！”统计学家与数学家平均指标的作用：（1）平均指标可用于同类现象在不同空间条件下的对比。（2）平均指标可用于同一总体指标在不同时间的对比。（3）平均指标可作为论断事物的一种数量标准或参考。（4）平均指标也可用于分析现象之间的依存关系和进行数量上的估算。平均指标的种类算术平均数调和平均数几何平均数中位数众数数值平均数位置平均数总体单位总数总体标志总量平均数算术基本形式：总产量总成本平均成本职工人数工资总额平均工资例：直接承担者※注意区分算术平均数与强度相对数算术平均数A.简单算术平均数——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况NXNXXXXNiiN121式中：为算术平均数;为总体单位总数；为第个单位的标志值。iiXNX算术平均数的计算方法平均每人日销售额为：元558527905440750480600520NXX算术平均数的计算方法某售货小组5个人，某天的销售额分别为520元、600元、480元、750元、440元，则【例】B.加权算术平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况miimiiimmmffXffffXfXfXX11212211式中：为算术平均数;为第组的次数；为组数；为第组的标志值或组中值。XiXifimi算术平均数的计算方法表现为次数、频数、单位数；即公式中的fXfXf表现为频率、比重；即公式中的ffXfXfXff算术平均数的计算方法指变量数列中各组标志值出现的次数，是变量值的承担者，反映了各组的标志值对平均数的影响程度权数绝对权数相对权数miimiiiffXX11分析：成绩（分）人数（人）甲班乙班丙班603915010013950平均成绩（分）619980起到权衡轻重的作用算术平均数的计算方法决定平均数的变动范围权数与加权权数与加权23456781924.421191817263554432221x算术平均数的计算取决于变量值和权数的共同作用：变量值决定平均数的范围；权数则决定平均数的位置算术平均数的计算方法【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800Xf计算该企业该日全部工人的平均日产量。算术平均数的计算方法件）(1375.1280097101007010014701011miimiiiffXX解：若上述资料为组距数列，则应取各组的组中值作为该组的代表值用于计算；此时求得的算术平均数只是其真值的近似值。说明算术平均数的计算方法【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（千克）工人人数（人）组中值60以下60~7070~8080~9090~100100~110110以上10551965507536852795141058115合计164-----计算该企业该日全部工人的平均日产量。算术平均数的计算方法)(62.8216481151965105511千克miimiiiffXX⒈变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零，即：⒉变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：0)(xxmin)(2xx算术平均数的主要数学性质离差的概念1x2x3x4x5x6x123456785x-1-1-2130)1(13)2(01)(xx16)1(13)2(01)(2222222xx算术平均数的特点：（1）适合于代数运算；（2）易受极端变量值的影响，使的代表性变小，而且受极大值的影响大于受极小值的影响；（3）当组距数列为开口组时，由于组中值不易确定，使代表性也不很可靠。XX【例】设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可由定义计算如下：⒉再求算术平均数：481614121⒈求各标志值的倒数：，，，21416181⒊再求倒数：816141214是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数调和平均数A.简单调和平均数——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况XnXXXnXnH111121式中：为调和平均数;为变量值的个数；为第个变量值。iiXHX调和平均数的计算方法nB.加权调和平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中：为第组的变量值；为第组的标志总量。imiXii1212121nHnnmmmmXmmmmXXXX调和平均数的计算方法——当已知各组变量值和标志总量时，作为算术平均数的变形使用。因为：XfXfXfXXfmXmXXfmH11,则设调和平均数的应用调和平均数的用途：作为独立意义上的平均数使用基本上没有用途。作为算术平均数的变形使用是其常见的用法。但此时已经不能称为调和平均数，只能称其为调和平均方法。日产量（件）各组工人日总产（件）10111213147001100456019501400合计9710【例】某企业某日工人的日产量资料如下：计算该企业该日全部工人的平均日产量。调和平均数的应用Xm件1375.1280097101414001070097101mXmXH即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。调和平均数的应用解：调和平均数的特点：（1）如果数列中有一标志值等于零，则无法计算；（2）作为一种数值平均数，受所有标志值的影响，她受极小值的影响大于受极大值的影响，但较之算术平均数，受极端值的影响要小。hXhX由于比值（平均数或相对数）不能直接相加，求解比值的平均数时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比设比值iiifmX分子变量分母变量则有：,,1,2,,iiiiiimmXffinX求解比值的平均数的方法mXmfXffmX1求解比值的平均数的方法己知，采用基本平均数公式己知，采用加权算术平均数公式己知，采用加权调和平均数公式比值iiifmXfmmxxff【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法【例A】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合计—1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法应采用加权算术平均数公式计算﹪12.10524900261754400800440015.180085.0fXfXfmX计划产值实际产值程度计划完成分析：Xffx应采用加权平均数的公式计算【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：组别企业数（个）计划产值（万元）实际产值（万元）12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：组别企业数（个）计划产值（万元）实际产值（万元）12342310380025001720044006802375180605060合计182490026175计算该公司该季度的平均计划完成程度。求解比值的平均数的方法fmX计划产值实际产值程度计划完成分析：fm应采用平均数的基本公式计算﹪12.1052490026175fmXfm求解比值的平均数的方法【例C】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计算该公司该季度的平均计划完成程度。计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）实际产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231036802375180605060合计—1826175求解比值的平均数的方法【例C】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：fmX计划产值实际产值程度计划完成分析：计算该公司该季度的平均计划完成程度。应采用调和平均数的公式计算计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）实际产值（万元）90以下90～100100～110110以上8595105115231036802375180605060合计—1826175m﹪12.1051155060105180609523758568026175xmmXxm