第九章简谐振动

第九章振动和波第九章振动和波广义的振动—物理量随时间作周期性变化称为振动。（2）周期性—在T时间内状态能完全重复。振动是自然界中最普遍的运动形式之一。振动和波在力学、声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。特点：（1）有平衡点，且具有重复性。Vibrationandwave机械振动—物体在某一位置附近作往复运动。机械振动分类按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。其中简谐振动是最基本最简单的振动，复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。称作谐振动的微分方程。弹簧振子是理想模型Spring/harmonicOscillatorkmoxXfgmN在水平方向上：kxf由牛顿第二定律，有：22ddtxmkx令：,2mk则有：0dd222xtx§9-1简谐振动一、简谐振动的微分方程和运动方程（负号表示力与位移方向相反）幻灯片51、简谐振动的微分方程2、运动学方程：由：,0dd222xtx可解得：tCtCxcossin21)cos(tAx或：一般写成：)sin(tAx本课程采用余弦形式因而简谐振动是围绕平衡位置的周期运动振动曲线简谐振动的定义：若质点的位移与时间的关系可以用)cos(tAx表示，质点的运动称为谐振动。描述简谐振动的物理量A、ω、φ，称特征量。otx)cos(tAx(2)角频率ω：angularfrequency振动的快慢周期T:Period])(cos[)cos(TtAtA2T/2T频率ν：21T(3)初相位：tPhase描述运动状态的量φ为初相位，InitialPhase(1)振幅A:amplitude离开平衡位置的最大距离（幅度、范围）4、谐振动的三个特征量)2cos(tA5、位移、速度和加速度的相位关系)cos(tAxtxvdd)sin(tAtvadd)cos(2tA以上结果表明：(1)v,a与x的ω相同(2)AaAv2maxmax,(3)a与x方向相反，且成正比振幅)cos(tAx)2cos(tAv)cos(2tAax、v、a相位依次差π/2。写成二、初始条件确定振幅和初相位初始条件：00,,0vxt)1(cos0Axsin0Av写为：)2(sin0Av,)2()1(22得：220202vxA22020vxA得：),1/()2(00/tgxv即：)tg(arg00xvФ有两个值，需（1）或（2）进行筛选。也可直接由（1）或由（2）求出φ。三、坐标原点的选取对于振动方程的影响(以竖直弹簧振子为例)mgky022ddtymmgkyF0)()(dd0022yymkyyt)cos(tAxOOyymm0yxx自由端,平衡位置OOO以为坐标原点:O以为坐标原点:0yyx0)cos(ytAy在建立谐振子的振动方程时,选平衡位置为坐标原点最合适。0dd22lgtlgsindd222mgltml[例题1]单摆SimplePendulum解：单摆受力如图所示gmtFTsinmgFt对悬挂点的力矩：sinmglM由：JM若θ很小，则有：sin即：0dd222t其中：)cos(t动画[例题2]半径为R的圆环静止于刀口O点上,令其在自身平面内作微小摆动,证明其摆动为谐振,并计算其振动周期.证明:设圆环偏离角度为θ2222mRmdmRJ22ddtJJMsin,RmgMRmgRmgtmRsindd222202dd22Rgt因此所作振动为谐振gRT22Rg2o四、谐振动的其它表示法1、振动曲线法（1）振动曲线的峰（或谷）对应的位移的大小即是振幅.（2）振动曲线上表示振动状态相同的相邻两点对应的时间间隔就是周期T。（3）由初状态v0、x0可得出初相位φ。（4）尤其判断振动的超前与落后非常直观。Rotatingvectormethod1.参考圆法沿逆时针方向作匀速圆周运动的质点在某一直径上（取在x轴）的投影的运动为简谐振动。半径R——振幅A角速度——角频率ωt时刻A矢量在x轴上的投影)cos(0tAx初始矢径与x轴的交角—初相位o动画0tA0tx2.旋转矢量AxO用旋转矢量法处理问题更直观、更方便，必须掌握。表示出三个特征量2、旋转矢量表示法[例题3]一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s，当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=0.06m，此时向x轴正向运动。求：(1)此振动的表达式(2)t=T/4时，质点的位置、速度、加速度(3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间解:(1)取平衡位置为坐标原点设)cos(tAx其中1s2TA亦为已知，只需求φ由t=0s时，x0=0.06m，可得：cos0Ax2/112.0/06.0/cos0Ax在-π到π之间取值：3取哪一个值要看初始条件，由于：)sin(tAv所以：sin0Av由于t=0时，质点向正x方向运动，所以v00因此，应取：3于是，此简谐振动的表达式：)SI()3cos(12.0tx利用旋转矢量法求解很直观，根据初始条件就可画出如图所示的振幅矢量的初始位置，从而得到：O0x0vx(2))sin(tAv)3sin(12.0t)cos(2tAa)3cos(12.02t将t=T/4=0.5s代入上两式，以及位移表达式，可求得：时s5.0tm104.0xm/s189.0vm/s03.1a此时旋转矢量位置如图：A(3)通过平衡位置时，x=0，由位置表达式，可得：)3cos(12.00t由此可得：,2,1,2)12(3kkt/)6/(kt第一次通过，取k=1，又由于ω=π/s，所以：s83.065t从起始时刻到第一次质点通过原点，振幅矢量转过的角度为：A6/52/3/2/故：/65ts83.0有旋转矢量图可知：[例题4]以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，试写出其运动方程。01212)(st)(cmxs1解：设该简谐振动的运动方程为)cos(tAx根据已知条件求出各量代入上式即可由图可知，A=2cm，当t=0时cm1cos20x,21cos32所以因为：v00,32所以0sin,sin0故Av画出矢量图：32,0100故和满足vx又知t=1s时，位移达到正的最大值，即：AA)1cos(故：2342因而有：)(cm)3234cos(2tx01212)(st)(cmxs1x13232)(sin21212222tmAmvEk简谐振动的势能：);(cos2121222tkAkxEp五、简谐振动的能量以水平的弹簧振子为例)(sin2122tkAkmoxX简谐振动的动能：)cos()(tAtxmk/222221)](cos)([sin21kAttkApkEEE简谐振动的总能量：弹性力是保守力，总机械能守恒，即总能量不随时间变化。AkEpE221kAEAo202241dcos2kAttTkAT势能的时间平均值:TPttkATE022d)(cos211动能的时间平均值:TkttkATE022d)(sin211202241d)(sin2kAttTkAT这些结论同样适用于任何简谐振动。总能的时间平均值:*振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。*任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比*弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半。结论：EEEpK21221kAEEEpk022/MvMvvt3.用余弦函数描述一些振子的振动，若速度---时间函数关系如图，则振动的初相位为①π/6；②π/3；③π/2；④5π/6x2/MvMv02/sin,2/,000MMvAvvvt,65,6,21sin6/0(cos,0）这时tAxx4.无阻尼自由简谐振动的周期和频率由所决定。对于给定的简谐振动系统其振幅、初相位由决定。振动系统本身的性质初始条件1.一弹簧振子作谐振动，总能量为E，如果谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的4倍，则它的总能量E变为A:E/4;B:E/2;C:2E;D:4EEkAAkEkAE4)21(4)2(21,21222本章作业：9-3，9-5，9-10，9-11代数方法：设两个振动具有相同频率，同一直线上运动，有不同的振幅和初相位§9-2简谐振动的合成一、同方向、同频率的简谐振动的合成)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtxtAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211tAtAsinsincoscos)cos(tA合振幅CompositionoftwoSHM仍然是同频率的简谐振动bababasinsincoscoscos)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinarctgAAAA)2(sinsinsin)1(coscoscos22112211AAAAAA由分别两边平方求和后整理得：2A2A1A1YX11cosA22cosA11sinA22sinA几何方法：)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinarctgAAAA)cos(21tAxxx)cos(212212221AAAAA上面得到：22112211coscossinsinarctgAAAA讨论一：,2,1,0212kk21AAA合振幅最大。2AA1A当两分振动同步时合振动的振幅等于两分振动振幅之和12AA21AA讨论二：当时，21AA0A2AA1A讨论三：1A2AA,2,1,0)12(12kk||||2121AAAAAk12一般情况：)cos(212212221AAAAA两分振动反相位时合振动的振幅等于两分振动振幅之差21AAA例1。两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm,与第一简谐振动的相位差为φ-φ1=π/6,若第一个简谐振动的振幅为cm3.17cm310则第二个谐振动的振幅为cm,第一、二两个谐振动的相位差φ2---φ1=。cm10)cos(2112212AAAAA2/1212AA解：由矢量合成法则：30A1A2A20310)cos(2122122212AAAAA02)cos(212221212AAAAA二、同方向、不同频率的简谐振动的合成为了简单起见，先讨论两个振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为：SamedirectionDifferentFrequency合成振动表达式：利用三角函数关系式：tAtx11costAtx22cos2cos2co