§103 格林公式及其应用

一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积§10.3格林公式及其应用一、格林公式单连通与复连通区域单连通区域复连通区域设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域边界曲线的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域;如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通区域.GGG一维单连通二维单连通一维单连通二维不连通一维不连通二维单连通定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数则有其中L是D的取正向的边界曲线——格林公式定理证明应注意的问题:对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向LDQdyPdxdxdyyPxQ)(连成与由21LLL组成与由21LLL边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.2LD1L2L1LD}),()(),{(21bxaxyxyxD证明(1)若区域D既是X型又是Y型,即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.}),()(),{(21dycyxyyxDyxoabDcd)(1xy)(2xyABCE)(2yx)(1yxdxxQdydxdyxQyydcD)()(21dcdcdyyyQdyyyQ)),(()),((12CAECBEdyyxQdyyxQ),(),(EACCBEdyyxQdyyxQ),(),(LdyyxQ),(同理可证LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yxDcCE)(1yx若区域D由按段光滑的闭曲线围成.如图,证明(2)L1L2L3LD1D2D3D两式相加得LDQdyPdxdxdyyPxQ)(将D分成三个既是X型又是Y型的区域1D,2D,3D.321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32,1来说为正方向对DLLLGD3L2LFCE1LAB证明(3)若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段AB,CE.则D的边界曲线由AB,2L,BA,AFC,CE,3L,EC及CGA构成.由(2)知DdxdyyPxQ)(CEAFCBALAB2{CGAECLQdyPdx)(}3231))((LLLQdyPdxLQdyPdx),(32,1来说为正方向对DLLL提示:格林公式:用格林公式计算区域的面积设区域D的边界曲线为L则在格林公式中令PyQx则有LDQdyPdxdxdyyPxQ)(DLdxdyxdyydx2或LDydxxdydxdyA21LydxxdyA21DLdxdyxdyydx2或LDydxxdydxdyA21格林公式:用格林公式计算区域的面积例1求椭圆xacosqybsinq所围成图形的面积A设区域D的边界曲线为L则解设L是由椭圆曲线则LDQdyPdxdxdyyPxQ)(LydxxdyA21LydxxdyA21qqq2022)cossin(21dababqabdab2021LydxxdyA21qqq2022)cossin(21dababqabdab2021提示:因此由格林公式有格林公式:用格林公式计算二重积分解LDQdyPdxdxdyyPxQ)(例2计算Dydxdye2其中D是以O(00)A(11)B(01)为顶点的三角形闭区域要使2yeyPxQ只需P02yxeQ令P02yxeQ则2yeyPxQ因此由格林公式有格林公式:用格林公式计算二重积分解LDQdyPdxdxdyyPxQ)(例2计算Dydxdye2其中D是以O(00)A(11)B(01)为顶点的三角形闭区域BOABOAyDydyxedxdye22)1(2111022edxxedyxexOAy)1(2111022edxxedyxexOAy)1(2111022edxxedyxexOAyBOABOAyDydyxedxdye22令P02yxeQ则2yeyPxQxyoL例3计算ABxdy,其中曲线AB是半径为r的圆在第一象限部分.解引入辅助曲线L,•简化曲线积分ABDBOABOAL应用格林公式,xQP,0有格林公式:LDQdyPdxdxdyyPxQ)(提示:解当(00)D时由格林公式得记L所围成的闭区域为D当x2y20时有yPyxxyxQ22222)(022Lyxydxxdy例4计算Lyxydxxdy22其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向这里22yxyP22yxxQ用格林公式求闭曲线积分在D内取一圆周l:x2y2r2(r0)当(00)D时解记L所围成的闭区域为D记L及l所围成的复连通区域为D1应用格林公式得其中l的方向取顺时针方向于是例4计算Lyxydxxdy22其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向0)(122dxdyyPxQyxydxxdyDlLlLyxydxxdyyxydxxdy2222qqq2022222sincosdrrr2lLyxydxxdyyxydxxdy2222qqq2022222sincosdrrr2lLyxydxxdyyxydxxdy2222qqq2022222sincosdrrr2二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G内具有一阶连续偏导数与路径无关否则说与路径有关如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2等式21LLQdyPdxQdyPdx恒成立就说曲线积分LQdyPdx在G内二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关这是因为设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线则L1(L2)是G内一条任意的闭曲线而且有021LLQdyPdxQdyPdx0)(21LLQdyPdx21LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx意闭曲线C的曲线积分LQdyPdx等于零曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关相当于沿G内任二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关定理2(曲线积分与路径无关的判断方法)定理证明在G内恒成立xQyP闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是等式数则曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关(或沿G内任意设函数P(xy)及Q(xy)在单连通域G内具有一阶连续偏导意闭曲线C的曲线积分LQdyPdx等于零曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关相当于沿G内任应用定理2应注意的问题(1)区域G是单连通区域(2)函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立讨论:提示:.0xQyPQdyPdxQdyPdxLL与路径无关设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向问是否一定成立？022Lyxydxxdy解这里P2xyQx2选择从O(00)到A(10)再到B(11)的折线作为积分路线则ABOALdyxxydxdyxxydxdyxxydx222222.0xQyPQdyPdxQdyPdxLL与路径无关11102dy因为xxQyP2所以积分Ldyxxydx22与路径无关例5计算Ldyxxydx22其中L为抛物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧三、二元函数的全微分求积表达式P(xy)dxQ(xy)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分那么在什么条件下表达式P(xy)dxQ(xy)dy是某个二元函数u(xy)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？二元函数u(xy)的全微分为du(xy)ux(xy)dxuy(xy)dy原函数如果函数u(xy)满足du(xy)P(xy)dxQ(xy)dy则函数u(xy)称为P(xy)dxQ(xy)dy的原函数定理3设函数P(xy)及Q(xy)在单连通域G内具有一阶连续偏导数则P(xy)dxQ(xy)dy在G内为某一函数u(xy)的全微分的充分必要条件是等式在G内恒成立xQyP求原函数的公式),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxuyyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0xxyydxyxPdyyxQyxu00),(),(),(0解：这里例6验证2xydxx2dy在整个xOy平面内是某一函数u(xy)的全微分并求这样的一个u(xy).yPxxQ2所以P(xy)dxQ(xy)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(xy)的全微分),()0,0(22),(yxCdyxxydxyxuyyCyxCxydxdy00220例7设有一变力在坐标轴上的投影为Xxy2Y2xy8这变力确定了一个力场证明质点在此场内移动时场力所做的功与路径无关解：场力所作的功为dyxydxyxW)82()(2由于故以上曲线积分与路径无关即场力所作的功与路径无关yXyxY2与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域D上),(),,(yxQyxP具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.(1)LDPdxQdy在内与路径无关(2)0,CPdxQdyCD闭曲线(3)(,)DUxyduPdxQdy在内存在使xQyPD,)4(内在等价命题小结