概率论-9【第七章 第二节 方差和标准差 协方差和相关系数】

7.2方差一.定义与性质方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。如何定义？1.定义若E(X),E(X2)存在，则称E[X-E(X)]2为r.v.X的方差，记为D(X),或Var(X).连续型情形离散型情形,)()]([},{)]([)(212dxxfXExxXPXExXDkkk)()(XDX称为r.v.X的标准差可见推论D(X)=E(X2)-[E(X)]2.证明:D(X)=E[X-E(X)]2})]([)(2{22XEXXEXE22)]([)()(2)(XEXEXEXE22)]([)(XEXE【例1】设随机变量X的概率密度为101011)(xxxxxf1)求D（X）,2)求)(2XD0)1()1()()1(1001dxxxdxxxXE解：61)1()1()(1020122dxxxdxxxXE61)(XD2242)]([)()()2(XEXEXD1040144)1()1()(dxxxdxxxXE1512261151)(XD1807【泊松分布】p()...,2,1,0,!}{~kekkXPXk0122)!1(!)(kkkkkekekkXE)(XE由于1)!1()(kkkeXE两边对求导得ekkkk)1()!1(11或ekkk1)!1(即)1()!1(1kkkek)(XD2220222222222()()()()((1))((1))(1)!=(2)!=e=.()iiiiEXEXXXEXXEXEXXEXXiieieieDXEXEX所以，E(X)=因此，22==.3.均匀分布U(a,b)：.12)()(2abXD21)(XD4.指数分布：5.正态分布N(,2)：.)(2XD【方差的性质】(1)D(c)=0反之，若D（X）=0，则存在常数C，使P{X=C}=1,且C=E(X);(2)D(aX)=a2D(X),a为常数；证明:222)]([)()(aXEXaEaXD222)]([)(XaEXEa})]([)({222XEXEa)(2XDa(3)若X，Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y);证明:22)]([}){()(YXEYXEYXD})]([)]()][([2)]({[}2{2222YEYEXEXEYXYXE)()(2)(2)()(YEXEXYEYDXDX与Y独立)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD11212112211,...DXX...()()...(),...kk,()()(5)()nnnnnnniiiiiiXXXDXDXDXXXDkXkDXDXaDX(n2)独立，则(4)若(n2)独立，对于任意常数，，.(3)若..,k有•二.几个重要r.v.的方差1.二项分布B(n,p)：nkppCkXPknkkn,...1.0)1(}{npXE)(nkknkppknknkXE122)1()!(!!)(nkknkppknkkn1)1()!()!1(!nkknkppknknk1)1()!()!1(!)11(nkknknkknkppknknppknknk11)1()!()!1(!)1()!()!1(!)1(nkknknkknkppknknppknkn12)1()!()!1(!)1()!()!2(!1011120222)1()1()1(njjnjjnnllnllnppnCppCnnnppnn2)1()1()1()(222pnppnnppnnXD解法二:设01iX第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则niiXX122)()()(iiiXEXEXDniiXDXD1)()()1()1(1pnpppni)1(2pppp【思考1】请给出一个离散型随机变量X和一个连续型随机变量Y，使它们的期望都是2，方差都是1。【思考2】已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn，求E（Y2）212112117,,...,(),().1,.nniiXXXEXDXXXnn【例】设独立同分布，记=求证：E(X)=,D(X)=【矩】定义1.设X为随机变量，c为任意常数，k为正整数,称量E[(X-c)k]为X关于c点的k阶矩。比较重要的有两种情况：(1)c=0,这时，ak=E(Xk)称为X的k阶原点矩；(2)c=E(X),这时，bk=E[X-E(X)]k称为X的k阶中心矩。定义2：对正整数k与l，称E(XkYl)为X和Y的k+l阶混合矩；若E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。【第三节协方差和相关系数】222222222()()(2)222DXYDXDYEXYEXEYDXYEXYEXYEXYXYEXEYEXEYEXYEXEYEXEYDXDYEXYEXEY【第三节协方差和相关系数】一.协方差定义与性质1.协方差定义若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称COV(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.为X与Y的协方差,易见COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).18R(,)sinYcos[()()]0.[()()]1=sincos2=0EXEXYEYEXEXYEYEXYEXEYxxdx【例】设，X，，求证证明：1EX=sin0211EY=cossin022cov(,)000xdxxdxxXYEXYEXEY1112212219(,)1/4,1/4,1/3;1/6;XY【例】设有联合分布列PPPP求cov(X,Y).YXY1=0Y2=1X1=0X2=11/41/41/31/61/21/27/125/1222121220(,)(,;,,),XYN【例】设求cov(X,Y).协方差性质(1)COV(X,Y)=COV(Y,X);(2)COV(X,X)=D(X);(3)COV(X,c)=0(4)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中a,b为常数；(5)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);(5‘)COV(Z，X+Y)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);(5’’)COV(X+Y，Z+W)=COV(X,Z)+COV(Y,Z)+COV(X,W)+COV(Y,W);(6)()()()2cov(,);7COV(X)COVX,Y.DXYDXDYXYabac，cY+d【相关系数】1.定义若r.v.X，Y的方差和协方差均存在,且DX0,DY0，则DYDX)Y,Xcov(XY称为X与Y的相关系数.注：若记DX)X(EXX*称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且).(),cov(****YXEYXXYOXYOXYOXYOXY000(0)YabXb000(0)YabXb000(0)yabxb1XY1XY10XY000(0)yabxb01XY1XYOXY0XY(,)(1)1;(2)1()1()1.(3)0XYXYXYXYabPYaXbXY【定理】设二维随机变量的两个分量与的相关系数为，则有称之为与完全相关与以概率线性相关。即存在常数与，使有若，称之为与不相关。22222,EXaDX()=()1=()xaxaxaXDXXaXafxdxxafxdxxafxdx【契贝晓夫不等式】对任意的随机变量若，又存在，则对任意的正常数，有:P()证明：P()2221=()()=.xafxdxDXX【练习】若为离散型随机变量，求证切比雪夫不等式成立。12110P(X=a)=1.0,EX10(0)101(0)0,(0)1EX1.innXDXDXPXEXPXEXnDXPXEXnnPXEXPXEXPX【结论】随机变量的方差的充要条件是X取某个常数值的概率为1，即证明：充分性显然。必要性设则存在，于是有：因此，从而，，即，22222222222(,),,E(XY),(,)(,)21(,)(,)212XYEXEYEXEYEXEYEXYxyXYxyfxydxdyfxydxdyxfxydxdyyfxydxdy【引理】【柯西--许瓦兹不等式】若是一个二维随机变量，又则有证明：【首先，在成立的前提下，存在。【E=【=【=22EXEY222222222222,002EXY4EXEY0E(XY).tEXtEXYEYtEXEY考虑实变量t的二次函数g(t)=E(tX-Y)因为对一切有(tX-Y)，所以g(t)，从而二次方程g(t)或者没有实根，或者只有一个重根，由此知它的判别式非正，即有整理得：命题得证。11222111122111(,)(1)1;(2)11()1.E()()(1)XXEXYYEYEXYE(X)E(Y),1.(2)1EXY-EXXYXYXYabPYaXbXEXYEYDXDY【定理】设二维随机变量的两个分量与的相关系数为，则有与以概率线性相关。即存在常数与，使有证明：,令=-，=-，由引理1，因此，21201101101101100EY0g(t)=0E0.()0.D()=0,P(0)=1.P(Y=tX+)=1.EtXYtXYtXYEYtEX因此，有一重根。即：(tX-Y)所以整理得：【证毕】(1)(2),0(3),(4),XYYXXaaXbYaXbcXd【相关系数的性质】11(1)(,)(,)[()][()]iiijijXYCovXYxEXyEYp【协方差的计算】按定义计算假设为离散型随机变量：若X，Y为连续型随机变量dydxyxfYEyXExYXCov),()]()][([),((2)1(,)[()()()]21=-[()()()]2CovXYDXYDXDYDXYDXDY用公式计算)()()(YEXEXYE)()(YDXDXY【例1】若X、Y的E(X)=-2,E(Y)=4,D(X)=4,D(Y)=9,分别在(1)X、Y相互独立，(2)ρXY=0.5的条件下，求E(Z)=E(3X2-2XY+Y2-3).解：(1)因为X、Y相互独立，所以E(XY)=E(X)E(Y)；E(Z)=E(3X2-2XY+Y2-3)=3E(X2)-2E(X)E(Y)+E(Y2)-3=3[D(X)+[E(X)]2]-2E(X)E(Y)+[D(Y)+[E(Y)]2]-3=62；(2)E(Z)=3[D(X)+[E(X)]2]-2E(XY)+[D(Y)+[E(Y)]2]-3=24-2[Co