2015年高考天津文科数学试题及答案(word解析版)

12015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）参考公式：如果事件A，B互斥，那么PABPAPB；如果事件A，B相互独立，那么PABPAPB；柱体的体积公式VSh，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高；锥体体积公式13VSh，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015年天津，文1】已知全集1,2,3,4,5,6,7,8U，集合2,3,5A，集合1,3,4,6B，则集合UABð（）（A）3（B）2,5（C）1,4,6（D）2,3,5【答案】B【解析】{2,3,5}UBð，所以{2,5}UABð，故选B．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．（2）【2015年天津，文2】设变量,xy满足约束条件2020280xxyxy，则目标函数3zxy的最大值为（）（A）7（B）8（C）9（D）14【答案】C【解析】解法一：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由3zxy得3yxz，平移直线3yxz，由图像可知当直线3yxz过点A时，3yxz的截距最大，此时z最大．由20280xxy，解得23xy，即2,3A，代入目标函数3zxy得3239z，即目标函数的3zxy的最大值为9，故选C．解法二：5132289922zxyxxy，当2,3xy时取得最大值9，故选C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．（3）【2015年天津，文3】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）（A）2（B）3（C）4（D）5【答案】C【解析】由程序框图可知：2,8;3,S5;4,1.iSiiS，故选C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．（4）【2015年天津，文4】设xRÎ，则“12x”是“|2|1x-”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】2112113xxx，则“12x”是“|2|1x-”的充分不必要条件，故选A．【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．（5）【2015年天津，文5】已知双曲线222210,0xyabab的一个焦点为2,0F，且双曲线的渐近线与圆2223xy相切，则双曲线的方程为（）2（A）221913xy（B）221139xy（C）2213xy（D）2213yx【答案】D【解析】由双曲线的渐近线0bxay，与圆2223xy相切得：2223bab，由222cab，由此可解得1,3ab，所以双曲线方程为2213yx，故选D．【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出,ab的值，是解题的关键．（6）【2015年天津，文6】如图，在圆O中，,MN是弦AB的三等分点，弦,CDCE分别经过点,MN．若2,4,3CMMDCN，则线段NE的长为（）（A）83（B）3（C）103（D）52【答案】A【解析】由相交弦定理可知AMMBCMMD，CNNEANNB，又因为,MN是弦AB的三等分点，所以AMMBANNB，CNNECMMD，所以24833CMMDNECN，故选A．【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．（7）【2015年天津，文7】已知定义在R上的函数21xmfx（m为实数）为偶函数，记0.5(log3)af，2log5bf，2cfm，则,,abc的大小关系为（）（A）abc（B）acb（C）cab（D）cba【答案】B【解析】因为函数21xmfx为偶函数，所以0m，即21xfx，所以221loglog330.521(log3)log2121312,3aff2log52log5214bf，02(0)210cfmf，所以cab，故选B．【点评】本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．（8）【2015年天津，文8】已知函数22222xxfxxx函数32gxfx，若函数yfxgx的零点个数是（）（A）2（B）3（C）4（D）5【答案】A【解析】解法一：当0x时，22fxx，此时方程21fxgxxx的小于0的零点为152x，当02x时，222fxxx，22fxgxxx无零点，当2x时，2224fxxx，方程2222733fxxxxx大于2零点有一个，故选A．解法二：32gxfx，32yfxgxfxfx，由320fxfx，得：23fxfx，设2hxfxfx，若0x，则0x，22x，则222hxfxfxxx；若02x，则20x，022x，则22222222hxfxfxxxxx；若2x，0x，20x，则22222258hxfxfxxxxx．EDOABMNC3即2220202582xxxhxxxxxx，故函数yfxgx的零点个数为2个，故选A．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．第II卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2015年天津，文9】i是虚数单位,计算12i2i的结果为．【答案】i【解析】2ii212ii2ii2i2i2i．【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．（10）【2015年天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为3m．【答案】83【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积22181221133V．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．（11）【2015年天津，文11】已知函数ln,0,fxaxxx，其中a为实数,fx为fx的导函数,若13f，则a的值为．【答案】3【解析】因为1lnfxax,所以13fa．【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．（12）【2015年天津，文12】已知0,0,8,abab则当a的值为时22loglog2ab取得最大值．【答案】4【解析】22222222loglog211loglog2log2log164244ababab，当2ab时取等号，结合0a，0b，8ab可得4,2.ab【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．（13）【2015年天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知//,2,1,60ABDCABBCABC，动点E和F分别在线段BC和DC上，且1,9BEBCDFDC，则AEAF的最小值为．【答案】2918【解析】解法一：因为19DFDC，12DCAB，119199918CFDFDCDCDCDCAB，AEABBEABBC，19191818AFABBCCFABBCABABBC，221919191181818AEAFABBCABBCABBCABBC19199421cos1201818211721172929218921818当且仅当2192即23时AEAF的最小值为2918．BADCEF4解法二：在等腰梯形ABCD中,由ABDC，2AB，1BC，60ABC，得12ADBC,1ABAD,12DCAB,所以AEAFABBEADDF21312ABBCADAB221111129131218331818ABADBCADABBCAB．【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．（14）【2015年天津，文14】已知函数sincos0,,fxxxxR若函数fx在区间,内单调递增，且函数fx的图像关于直线x对称,则的值为．【答案】π2【解析】由fx在区间,内单调递增,且fx的图像关于直线x对称,可得π2，且222πsincos2sin14f，所以2πππ422．【点评】本题主要考查了由sinyAx的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2015年天津，文15】（本小题满分13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,AAAAAA,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为56,AA的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A发生的概率．解：（Ⅰ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；（Ⅱ）（i）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为12,AA,13,AA,14,AA,15,AA,16,AA,23,AA,24,AA,25,AA,26,AA,34,AA,35,AA,36,AA,45,AA,46,AA,56,AA，共15种．（ii）编号为56,AA的两名运动员至少有一人被抽到的结果为15,AA,16,AA,25,AA,26,AA,35,AA,36,AA,45,AA,46,AA,56,AA,共9种,所以事件A发生的概率93.155PA【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．（16）【2015年天津，文16】（本小题满分13分）ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知ABC的面积为315，2bc，1cos4A．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos26A的值．解：（Ⅰ）ABC中，由1cos4A，得15sin4A，由1sin3152bcA，得24bc，又由2bc，解得6,4bc由2222cosab