费马点的应用举例

你听说过费马点吗?如图,P为△ABC所在平面上的一点.如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P就是费马点.费马点有许多有趣并且有意义的性质,例如,平面内一点P到△ABC三顶点的距离之和为PA+PB+PC,当点P为费马点时,距离之和最小.假设A,B,C表示三个村庄,要选一处建车站,使车站到三个村庄的公路路程的和最短.若不考虑其他因素,那么车站应建在费马点上。请按下列步骤对费马点进行探究:(1)查找有关资料,了解费马点被发现的历史背景;(2)在特殊三角形中寻找并验证费马点.例如,当△ABC是等边三角形,等腰三角形或直角三角形时,费马点有哪些性质?(3)把你的探究结果写成一篇小论文,并通过与同学交流来修改完善你的小论文。ABCP(八下课本第82页——阅读材料)旋转变换建桥问题河流BA村和B村在河的两侧，到河两岸的距离分别是6千米和2千米，河宽2千米，两村的水平距离为6千米。现欲在河上修建一座桥，使自A村过桥到达B村的距离最短（假设河的两岸平行，且桥要垂直于河岸修建）。请在图上标明桥址，并求出此最短距离。ACDEF平移变换“将军饮马”问题白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向交河旁边的C点饮马，饮马后再到B点宿营，试问怎样走，才能使总的路程最短？对称变换河流BAA线段和最小值旋转变换平移变换对称变换问题表征越贴近学习者的思维特点，则问题越容易解决思维心理学——科多夫斯基、海斯和西蒙1985在人脑的记忆中，相关信息和技能越多，则迁移越可能发生美国学者罗耶问题1、如图，AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上，弧AD=2弧CD，P是半径OC上一个动点，求AP+PD的最小值。问题2、如图，已知正方形ABCD的边长为8，M是DC上的一点，且DM=2，N是AC上的动点。求DN+MN的最小值。问题3、如图，在边长为2的正△ABC中，P是高线AD上的一个动点，E是AC的中点，求PC+PE的最小值。问题4、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，求PE+PB的最小值。问题5、如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，M、N分别是AF和CD的中点，P是MN上的动点。求PA+PB的最小值。问题6、如图，梯形ABCD中，AD//BC，且BC=2，AB=AD=CD=1，M、N分别是AD、BC的中点，P是MN上的动点。求PA+PB的最小值。问题7、如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，求EC+ED的最小值。问题8、如图，梯形ABCD中，AD//BC，且BC=8，AD=CD=4，点N在BC上，CN=2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，求它的最小值。ABCDENXY问题9、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（1，0）和B（3，0），交y轴于C（0，3），P是对称轴上的动点，求△PAC周长的最小值。问题10、在x轴上求一点P，使它到两个定点A(0，2)，B(8，6)的距离之和最短。(内江市06年中考题)阅读并解答下面问题：（1）如图5所示，直线l的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP+BP的值最小（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）（2）如图6，A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1km，B工厂到河堤的距离BD为2km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6km.现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若，当为何值时，的值最小，并求出这个最小值。BACD