112第二节常数项级数审敛法

第二节常数项级数审敛法（2-3大节）教学目标：1、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法，会用根值审敛法.2、掌握p级数的收敛与发散条件.3、掌握交错级数的莱布尼兹审敛法，掌握绝对收敛与条件收敛的概念及性质.课时安排：6课时重点:1.正项级数的2.交错级数的莱布尼茨判别法。3.一般项级数的绝对收敛条件；收敛的判别法.难点：常数项级数的审敛法教学法：讲授法一.正项级数的审敛法：1.正项级数：1,0nnnuu2.正项级数的特点：①1{}nnnSSS单调增数列②nnnnn1ulimS{S}收敛有界（充要条件）③若nnnn1ulimS发散3.比较判别法（正项级数）①结论：（定理）大敛小敛，小散大散即：nnn1n1u,v：ⅰnnnnn1n10uv,vu若收敛收敛ⅱnnn1n1uv若发散，则发散②简证：nnnnuS,v,设以ⅰ为例来证nnnnnnnnn1v{}uv,S{S}u是收敛的有界又则有界收敛③比较判别法的极限形式：0lim0,nnnnnnnnnnnnlluvuuvvuvvuuv，与敛散性相同发散发散，收敛收敛，发散发散，收敛收敛④使用比较判别法应注意的问题：ⅰ“同性相比”（敛的和敛的比，散的和散的比）ⅱ和标准去比.11.--:111.--ln1ppapbPnpplPnnp与等比级数比收敛级数发散收敛准级数发散ⅲ、“敏锐”眼光，“先见之明”，“抓大头”，熟记等价无穷小公式。⑤例题分析：例1.讨论pn=11P--n级数的敛散性：nppp111S123n对于K-1XKPp11Kx(p1时)nnpk21S1k=nkpk1k211dxknkpk1k211dxxnp11=1dxxp-111=11p-1n11p-1有界，收敛当p11p1nn时，散；考察：n111111n23n（调和级数）用反证法：n2nnnn1n111SlimSS,limSSnn=收敛，则2nnnlim(SS)0另一方面：2nn11111SSnn1n22n2n22nnn1lim(SS)2例2.设nnnnnuu0,v0,lim0,v且则正确的有：⑴nnvu敛敛（对）⑵nnuv散敛（错）⑶nnvu散散（错）⑷nnuv敛敛（错）例3.快速判断下列级数的敛散性：①2n1n1n1111nn(n1)n与②23n1n111n(n1)n与相比③n1n111sinnn与相比④n1nn1解：①nn1n(n1)nlimlim11n(n1)n发散；②3nn12321n(n+1)13lim1PP--12nn同敛散但为=的级数收敛原级数收敛③nn1n11sin11nlim1sin1nnn同收敛，发散发散④由收敛的必要条件，一般项极限为1，发散。例4.判别下列级数的敛散性：①nn113n解：nnnnnnnn1131lim/limlim1n3n33n13nn113=而收敛原级数收敛例5.nnnnnn1n1a,cabc已知均收敛，且nn=1b问敛否？证明你的结论：nnnnnnn1cacb0,(ca)正而项敛nnn1(cb)敛（大敛则小敛，正项级数）nnnnnnn1n1cbc(cb)b又敛,而收敛例6.2nnnnn1n1u0uuu0设且敛，而敛否？在的前提下证:21lim0(1nnnnnnnuuuuNnNu敛而利用大敛则小敛），当时，忽略前面有限项，22nnnn1uuu=是的二阶无穷小敛小结：判定级数收敛的方法：①nnlimS②n{S}有界③比较判别法ex:p2061(1.2)