08第八章机械振动

1第八章机械振动第一节简谐运动●高考再现【题1】如图8-1-1所示，一向右运动的车厢顶上悬挂两单摆M与N，他们只能在图示平面内摆动，某一瞬时出现图示情景，由此可知车厢的运动及两单摆相对车厢运动的可能情况是A．车厢做匀速直线运动，M在摆动，N静止B．车厢做匀速直线运动，M在摆动，N也在摆动C．车厢做匀速直线运动，M静止，N在摆动D．车厢做匀加速直线运动，M静止，N也静止［解析］车厢做匀速直线运动或静止时，都是处于平衡状态，N可以是静止，也可以是在摆动中；M只能是在摆动中，因为M所受合外力不为零．车厢做匀加速直线运动时，M可能相对车厢静止也可能是在摆动中某一瞬时所在位置，N只可能是在摆动中经过最低点一瞬间，因为此时N在水平方向所受合力为零，不可能与车厢相对静止以共同加速度匀加速直线运动．［答案］AB【题2】细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方摆长处有一个能挡住摆线的钉子A，如图8-1-2所示．现将单摆向左拉开一个小角度，然后无初速地释放．对于以后的运动，下列说法中正确的是A．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小B．摆球在左、右两侧上升的最大高度一样C．摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等D．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍［解析］根据单摆做简谐运动的周期公式：T＝2gL知，T与L成正比，摆长减小，周期变小故A项正确．摆球在摆动过程中，空气阻力很小可忽略，悬线拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，摆球在左、右两侧上升的最大高度一样，故B项正确．假若无钉子摆球摆至右侧最高点B，与初位置对称，有钉子摆球摆至右侧最高点C、B．C在同一水平线上，由上图几何关系知θ2=2α，θ22θ1故D项错．摆球在平衡位置左侧走过的最大弧长大于在右侧走过的最大弧长．C选项错．［答案］AB●考点扫描一、定义物体在平衡位置附近所做的往复运动叫机械振动。使振动物体返回平衡位置的力叫回复力。物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动叫简谐运动。F=－kx分析：水平(竖直)弹簧振子、浮子等的振动。二、描述简谐运动的物理量振动物体离开平衡位置的最大距离叫振幅。做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫周期。单位时间内完成的全振动的次数叫频率。f=T1简谐运动的频率由振动系统本身的性质所决定，叫固有频率。三、单摆1．定义：一条细线，上端固定，下端拴一个小球，如果线的伸缩和质量可以忽略，线长比图8-1-2图8-1-12球的直径大得多，则此装置为单摆。2．作简谐运动的条件：摆角θ较小∵sinθ≈0=lx∴F=－mgsinθ=－lmgx回复力为重力沿切线方向的分力。3．周期：T=2gl●方法点拨一、基本概念1．机械振动是机械运动中比较复杂的运动形式，具有往复性，是一种加速度大小、方向时刻改变的变速运动，匀变速运动的公式不能适用。2．回复力是使物体回到平衡位置的合力，它是按力的作用效果命名的。注意受力分析时不能重复。3．振动中的位移都是以平衡位置为起始点的位移，某时刻振动物体的位移大小应小于或等于振幅。4．全振动是振动物体经过振动中的所有位置而回到初始时刻位置的过程，初、末时刻状态相同。5．周期和频率互为倒数，它们都是描述振动快慢的物理量，由振动物体本身的性质决定，与振幅大小无关，所以又叫固有周期和固有频率。二、应用技巧1．从力和运动关系的角度分析：抓住位移、加速度、速度在一个周期内变化规律。2．从能量转化和守恒角度分析：抓住动能、势能、机械能在一周期内变化规律。3．简谐运动的两个典型实例(1)弹簧振子①把一个有孔的小球和弹簧连在一起，穿在水平光滑杆上，将弹簧的一端固定,小球可以在杆上滑动，如果小球和杆之间的摩擦力可以忽略不计，且弹簧的质量不计，这样就成了一个弹簧振子，当弹簧偏离平衡位置后，由静止释放，弹簧振子将做简谐振动。注意：杆水平时，振子做简谐振动、杆沿其它方向时，振子也做简谐振动，只是平衡位置不同。②弹簧振子做简谐振动的周期公式为T=km2式中，m为振子质量；k为劲度系数。●典例分析【例1】如图8-1-3所示。小球甲、乙分别从光滑圆槽的A点、圆心O点同时由静止释放，其中球先到达圆槽最低点O′，圆槽的半径ROA。［解析］本题的关键是判断小球甲做什么运动，符合什么规律。小球在向O′运动途中的受力情况如右图所示。其中支持力FN始终指向圆心O，重力沿圆弧切线的分力越来越小，到O′时，分力为零。把上述情况与单摆对比，可知两种情况下，球的受力情况遵守同样的规律，因此，小球甲做筒谐运动，半径R与摆长等效。小球由A到O′所用时间tAO′＝gRT24，小球乙自由下落，到O′用时间tOO′=gR2。有tAO′tOO′，小球乙先到达点O′。［答案］乙【例2】甲、乙两个单摆，摆球质量相等。它们做简谐运动时，其周期之比为2：1，如果两摆的悬点处于同一高度，将摆线拉到水平位置伸直，自由释放摆球，则两摆球经过各自的最低点时A．甲、乙两摆球的动能相等B．悬线对甲摆球的拉力大于悬线对乙球的拉力图8-1-33C．甲、乙两摆球的机械能不相等D．两摆球的向心加速度相等［解析］本题考查了单摆振动跟运动学、动力学、能量守恒等力学知识综合的问题．根据单摆周期公式T=2π·gl可知，T1/T2=1/2/21ll，所以有l1:l2=2:1。由机械能守恒定律，各摆球下落至最低点过程中有21mv2＝mgl①由于l1≠l2，所以Ek1≠Ek2，选项A错误。而单摆摆动到最低点时，可视为圆周运动，根据圆周运动公式则有T－mg＝mlv2②由①②式可得T＝3mg，而m1＝m2，因此有T1＝T2，选项B错误。在摆线拉到水平位置时，两摆球相对同一个零势能参考平面具有相同的重力势能，而开始时甲、乙动能均为零，因此摆线在水平位置时甲、乙两摆的机械能是相等的。由于甲、乙两摆振动中机械能是守恒的，所以两单摆在任何时候的机械能相等。可见，选项C错误。由圆周运动知识，两单摆摆到最低点时的向心加速度为a＝lgllv22＝2g，所以甲、乙摆球在最低点的加速度相等。［答案］D。【例3】一弹簧振子做简谐运动，周期为TA．若t时刻和(t+△t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t一定等于T的整数倍B．若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则△t一定等于2T的整数倍C．若△t＝T，则在t时刻和(t+△t)时刻振子运动的加速度一定相等D．若△t＝2T，则在t时刻和(t+△t)时刻弹簧的长度一定相等［解析］若t时刻和(t+△t)时刻振子的位移大小相等，方向相同，表明两时刻振子只是在同一位置，其速度方向还可能相反，则△t不一定是T的整数倍，故选项A错误。若t时刻和(t+△t)时刻仅速度大小相等、方向相反，这时振子可能是处于平衡位置两侧的两个对称的位置上，也可能是两次处于同一位置上，这都不能保证△t一定是2T的整数倍，故选项B错误。振子每经过一个周期，必然回到原来的位置，其对应的加速度一定相等，选项C正确。经过半个周期，弹簧的长度变化大小相等、方向相反，即一个对应弹簧被压缩，另一个对应弹簧被拉伸，这两种情况下弹簧的长度不相等(除非弹簧刚好处于原长的特殊状态)，可见选项D错误。［答案］C【例4】一个质点在平衡位置点附近做简谐运动。若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点，如图8-1-4所示，再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是①8s②4s③14s④310sA．①②B．③④C．①③D．②④［解析］设图中a、b两点为质点振动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O向右运动，O→M过程历时3s，M→b→M过程历时2s，显然4T＝4s，T＝16s，质点第3次经过M点所需要的时间△t＝T－2＝(16—2)s＝14s，故③正确。若开始计时时刻质点从O点向左运动，O→a图8-1-44→O→M运动过程历时3s，M→b→M运动过程历时2s。显然，2T+4T=4s，T＝316s，质点第三次再经过M点所需要的时间△t′=T－2＝(316－2)s＝310s，故④正确。［答案］B。●思考讨论1．怎样判断一物体是否做简谐运动？［答案］判断振动是简谐运动的基本思路：正确进行受力分析；找出物体的平衡位置，设物体的位移为x，证明回复力满足关系式F＝一kx，说明：k为比例常数。2．分析简谐运动各物理量变化的基本方法［答案］(1)向着平衡位置运动：做加速运动，x↓(a与v同向)a↓v↑(2)远离平衡位置运动：做减速运动，x↑(a与v反向)a↑v↓。3．是否所有简谐运动周期都与振幅、物体的质量无关？［答案］与振幅无关，但不一定与物体质量无关。●能力训练1．一质点做简谐运动，先后以相同的动量依次通过A、B两点，历时1s，质点通过B点后再经过1s又第2次通过B点，在这两秒钟内质点通过的总路程为12cm，则质点的振动周期和振幅分别为(B)A．3s，6cmB．4s，6cmC．4s，9cmD．2s，8cm［解析］如图O为平衡位置，A、B关于O对称，根据筒谐运动的对称性知，周期T＝2×2s=4s。振幅A＝4212cm=6cm。2．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图8-1-5所示，由图可知(B)①质点振动的频率是4Hz②质点振动的振幅是2cm③在t＝3s时，质点的速度为最大④在t＝4s时，质点所受的合外力为零A．①②B．②③C．③④D．①④［解析］从图象上看出，A＝2cm，T＝4s。f=411THz，在1s、3s、5s……等时刻速度最大，2s、4s……等时刻加速度最大。3．关于单摆的下列说法正确的是(1)摆长为l的单摆在竖直平面内振动的过程中，最大摆角为4°．那么，当摆线的偏角从4°逐渐减小到2°所经历的时间应(B)A．等于gl4B．大于gl4C．小于gl4D．条件不够，无法确定［解析］摆角从4°逐渐减小到0°的过程中，振子做加速运动。因此，当偏角从4°减小到2°时，所用时间大于81T，即大于gl4。(2)若最大摆角由4°变为2°，则完成一次全振动用时(A)A．等于2glB．等于gl图8-1-55C．小于glD．大于gl［解析］单摆的周期与振幅大小无关。(3)若将摆球的质量加倍，则完成一次全振动用时(B)A．等于4glB．等于2glC．小于2glD．大于2gl［解析］单摆的周期与摆球质量大小无关。4．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中A．振子所受的回复力逐渐增大B．振子的位移逐渐增大C．振子的速度逐渐减小D．振子的加速度逐渐减小［解析］弹簧振子向平衡位置运动过程中，位移逐渐减小，因此回复力F＝-kx逐渐减小，加速度逐渐减小．由于弹力做正功，因此速度逐渐增大，故只有D是正确的．5．已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1．6m．则两单摆摆长la与lb分别为(B)A．la＝2．5m，lb＝0．9mB．la=0．9m，lb＝2．5mC．la＝2．4m，lb＝4．OmD．la＝4．Om，lb＝2．4m［解析］由题意知，6,10tTtTbat是a摆完成10次全振动，b摆完成6次全振动的时间，由单摆周期公式T=2gl,又la－lb=1．6m得，la＝0．9m，lb＝2．5m6．如图8-1-6所示是演示“砂摆”振动图象的实验装置和实验结果，砂摆的摆动可看作简谐运动。若平拉纸的速率为0．2m/s，从刻度尺上读出图线的尺寸，可算出这个砂摆的摆长是m。［解析］由图知单摆一个周期T内板运动的位移s＝30．0cm，所以单摆周期T＝2.010302vss＝1．5s由T＝2gl得l=22214.348.95.14gTm＝0．56m。［答案］0．567．如图8-1-7所示，置于液体中的比重计的运动是否是简谐运动？(不计液体阻力)［解析］判断某振动是否属于简谐运动，关键在于物体的受力分析，建立动力学方程，对照判别式F＝－kx求解作答。设比重计平衡时浸入液体的体积为V0，细管部分截面积为S，如对它施一外力，使其下沉偏离平衡位置一小深度x，撤去外力