01第一节第一类曲线积分

第十一章曲线积分与曲面积分在第十章中，我们已经把积分的积分域从数轴上的区间推广到了平面上的区域和空间中的区域.本章还将进一步把积分的积分域推广到平面和空间中的一段曲线或一片曲面的情形.相应地称为曲线积分与曲面积分，它是多元函数积分学的又一重要内容.本章将介绍曲线积分与曲面积分的概念及其计算方法.以及沟通上述几类积分内在联系的几个重要公式：格林公式、奥-高公式和斯托克斯公式.第一节第一类曲线积分分布图示★引例曲线形构件的质量★第一类曲线积分的概念★第一类曲线积分的性质★第一类曲线积分的物理意义★第一类曲线积分的计算★例1★例2★例3★例4★例5★例6★内容小结★课堂练习★习题11—1★返回内容要点一、引例设有一曲线形构件所占的位置是xOy面内的一段曲线L（图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(yx，试求该构件的质量.二、第一类曲线积分的定义与性质性质1设，为常数，则LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf),(),()],(),([；性质2设L由1L和2L两段光滑曲线组成(记为L21LL)，则.),(),(),(2121LLLLdsyxfdsyxfdsyxf注：若曲线L可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L是光滑的或分段光滑的.性质3设在L有),(),(yxgyxf，则dsyxgdsyxfLL),(),(性质4（中值定理）设函数),(yxf在光滑曲线L上连续，则在L上必存在一点),(，使sfdsyxfL),(),(其中s是曲线L的长度.三、第一类曲线积分的计算：)(),(),(ttyytxxdttytxtytxfdsyxfL)()(])(),([),(22(1.10)如果曲线L的方程为bxaxyy),(，则dxxyxyxfdsyxfbaL)(1])(,[),(2(1.11)如果曲线L的方程为dycyxx),(，则dyyxyyxfdsyxfdcL)(1]),([),(2(1.12)如果曲线L的方程为),(rr，则drrrrfdsyxfL)()()sin,cos(),(22例题选讲第一类曲线积分的计算例1（E01）计算曲线积分,)(22LdsyxI其中L是中心在)0,(R、半径为R的上半圆周（图11-1-2）.解由于上半圆周的参数方程为tRytRxsin)cos1(),0(t所以IdsyxL)(2202222]sin)cos1([tRtRdttRtR22)cos()sin(03)cos1(2dttR03]sin[2ttR.23R例2（E02）计算半径为R,中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度1).解取坐标系如图(图10-1-3),则.2LdsyI为计算方便,利用L的参数方程,costRxtRysin).(t故LdsyI2dtRtRtR2222)cos()sin(sintdtR23sin22sin23ttR)2sin2(23R).cossin(3R例3计算,Ldsy其中L是抛物线2xy上点)0,0(O与点)1,1(B之间的一段弧.解如图(见系统演示),L的方程),10(2xxydsdxx22)(1.412dxx因此dsyL102241dxxx10241dxxx).155(121)41(121102/32x例4计算Lyds,其中积分弧段L是由折线OAB组成,而),0,1(A).2,1(B解在OA上，,0y,dxds所以.0OAyds在AB上，,1x,dyds所以AByds20ydy.2从而OABydsABOAydsyds20.2例5（E03）计算,||Ldsy其中L为双纽线（图10-1-4）)()(222222yxayx的弧.解双纽线的极坐标方程为.2cos22ar用隐函数求导得,2sin,2sin22rararr.2sin2224222dradrardrrds所以.)22(2sin4sin4||2402402adadrardsyL例6（E04）求,2dsxI其中为球面2222azyx被平面0zyx所截得的圆周.解由对称性,知dsx2dsy2,2dsz所以Idszyx)(31222dsa231dsa32,323a其中ads2为球面的大圆周长.课堂练习1.计算曲线积分dszyx)(222,其中为螺旋线ktztaytax,sin,cos上相应于t从0到2的一段弧.2.有一段铁丝成半圆形,22xay其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标,求其质量.