2003年春季高考数学试题(北京文)及答案-2003年高考数学试题

2003年普通高等学校春季招生考试数学（文史类）（北京卷）第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cossin)]sin()[sin(21sincos)]cos()[cos(21coscos)]cos()[cos(21sinsin一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的奎屯王新敞新疆1．设dcbaRdcba,.,,,且，且下列结论中正确的是()A．dbcaB．dbcaC．bdacD．cbda2．设M和m分别表示函数1cos31xy的最大值和最小值，则M+m等于()A．32B．32C．34D．－23．若xxxf1)(，则方程xxf)4(的根是()A．－2B．2C．－21D．214．若集合PMxyyPyyMx则},1|{},2|{()A．}1|{yyB．}1|{yyC．}0|{yyD．}0|{yy5．若A，B，C是△ABC的三个内角，且)2(CCBA，则下列结论中正确的是()A．tgCtgAB．ctgCctgAC．CAsinsinD．CAcoscos6．在等差数列}{na中，已知2054321aaaaa，那么3a等于()A．4B．5C．6D．77．设复数2121arg,2321,1zziziz则()A．－125B．125C．127D．12138．函数)2()(||)(xxxgxxf和的递增区间依次是()A．]1,(],0,(B．),1[],0,(C．]1,(),,0[D),1[),,0[9．在同一坐标系中，方程)0(0122222babyaxbyax与的曲线大致是()正棱台、圆台的侧面积公式lccS)(21台侧其中c、c分别表示上、下底面周长l表示斜高或母线长球体的体积公式334RV球其中R表示球的半径ABCDEFGHJLxyxyxyxyOOOOABCD10．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为()A．6B．12C．15D．3011．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为()A．90°B．60°C．45°D．0°12．已知直线1)0(022yxabccbyax与圆相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形()A．是锐角三角形B．是直角三角形C．是钝角三角形D．不存在第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．函数12sinxy的最小正周期为奎屯王新敞新疆14．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR奎屯王新敞新疆15．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内奎屯王新敞新疆年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135（）145舒张压（水银柱毫米）707375788083（）8816．如图，F1，F2分别为椭圆12222byax的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为3的正三角形，则b2的值是奎屯王新敞新疆三、解答题：本题共6小题，共74分17．（本小题满分12分）解不等式：).22(log)2(log222xxx18．（本小题满分12分）已知函数)(,2cos1cos5cos6)(24xfxxxxf求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.rr↑↓（1）（2）xyOPF1FABCDEC1D1A1B119．（本小题满分12分）如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.（Ⅰ）求三棱锥D1—DBC的体积.；（Ⅱ）证明BD1∥平面C1DE；（Ⅲ）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.20．（本小题满分12分）设)0)(0,(),0,(ccBcA为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值)0(aa，求P点的轨迹.21．（本小题满分13分）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费200元.（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？22．（本小题满分13分）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去.记圆On的面积为)(Nnan.（Ⅰ）证明}{na是等比数列；（Ⅱ）求)(lim21nnaaa的值.ABCO1O22003年普通高等学校春季招生考试数学试题（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1.A2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.A10.D11.B12.B二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.13．π14．33215．（140）（85）16．32.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.解：原不等式330,203,01,0)1)(2(22201,02222xxxxxxxxxxxxxxx或.故原不等式的解集是}3|{xx.18．本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.满分12分.解：由Zkkxkxx,42,2202cos解得得.所以)(xf的定义域为}.,42|{ZkkxRxx且因为)(xf的定义域关于原点对称，且)2cos(1)(cos5)(cos6)(24xxxxf)(),(2cos1cos5cos624xfxfxxx所以是偶函数.又当xxxxfZkkx2cos1cos5cos6)(,,4224时1cos32cos)1cos3)(1cos2(222xxxx，所以)(xf的值域为}221211|{yyy或19．本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.（Ⅰ）解：3212221311DBCDV.（Ⅱ）证明：记D1C与DC1的交点为O，连结OE.∵O是CD1的中点，E是BC的中点，∴EO∥BD1.∵BD1平面C1DE，EO平面C1DE，∴BD1∥平面C1DE.（Ⅲ）解：过C作CH⊥DE于H，连结C1H.在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，C1C⊥平面ABCD，∴∠C1H⊥DE，∴∠C1HC是面C1DE与面CDE所成二面角的平面角.∵DC=2，CC1=1，CE=1，∴52121222DECECDCH，ABCDEC1D1A1B1oH∴2552111CHCCHCCtg即面C1DE与面CDE所成二面角的正切值为2520．本小题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.满分12分.解：设动点P的坐标为（x，y）.由aycxycxaaPBPA2222)()()0(||||，得.化简得.0)1()1()1(2)1(2222222yaacxacxa当01)1(2,122222ycxaacxa得时，整理得222222)12()11(aacycaax.当a=1时，化简得x=0.所以当1a时，P点的轨迹是以)0,11(22caa为圆心，|12|2aac为半径的圆；当a=1时，P点的轨迹为y轴.21．本小题主要考查二次函数的基本知识，考查分析和解决问题的能力.满分13分.解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600，所以这时租出了88辆车.（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为)200)(503000100()(xxxf，整理得304200)4100(50132000164501)200)(8000(501)(22xxxxxxf.所以，当x=4100时，)(xf最大，最大值为304200)4100(f，即当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304200元.22．本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力.满分13分.（Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，则,633021ltglr.2130sin11nnnnrrrr所以,12),2(3122111lranrrnn于是91)(211nnnnrraa故}{na成等比数列.（Ⅱ）解：因为),()91(11NnaannBOn-1OnAC所以.323911)(lim2121laaaann