2002年考研数学二真题

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数00)(2arcsin12tanxxaexfxexx在0x处连续，则a（）．2．位于曲线xxey（x0）下方，x轴上方的无界图形的面积为（）．3．02yyy满足初始条件21)0(,1)0(yy的特解是（）．4．12lim[1cos1cos1cos]nnnnnn=（）．5．矩阵222222220的非零特征值是（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(uf可导，)(2xfy当自变量x在1x处取得增量1.0x时，相应的函数增量y的线性主部为０．１，则)1(f＝（Ａ）－１；（Ｂ）０．１；（Ｃ）１；（Ｄ）０．５．２．函数)(xf连续，则下列函数中，必为偶函数的是(A)xdttf02)(；(B)xdttf02)(；(C)xdttftft0)]()([；(D)xdttftft0)]()([．３．设)(xfy是二阶常系数微分方程xeqyypy3满足初始条件0)0()0(yy的特解，则极限)()1ln(lim20xyxx(A)不存在；（Ｂ）等于１；(C)等于２；(D)等于３．４．设函数)(xf在R上有界且可导，则(A)当0)(limxfx时，必有0)(limxfx；（Ｂ）当)(limxfx存在时，必有0)(limxfx；(C)当0)(lim0xfx时，必有0)(lim0xfx；(D)当)(lim0xfx存在时，必有0)(lim0xfx．5．设向量组321,,线性无关，向量1可由321,,线性表示，而向量2不能由321,,线性表示，则对于任意常数k必有（Ａ）21321,,,k线性无关；(B)21321,,,k线性相关；（Ｃ）21321,,,k线性无关；(D)21321,,,k线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为cos1r，求该曲线对应于6处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223xxxxxfyxxexe，求函数xdttfxF1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(xf在R上可导，0)(xf，1)(limxfx，且满足xhexfhxxfh11))()((lim0，求)(xf．六、（本题满分７分）求微分方程0)2(dxyxxdy的一个解)(xyy，使得由曲线)(xyy与直线2,1xx以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小．七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分的高h应为多少？八、（本题满分８分）设30nx，)3(1nnnxxx（n＝１，２，３，…）．证明：数列｛nx｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设0ab，证明不等式abababbaa1lnln222．十、（本题满分8分）设函数)(xf在x＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(fff．证明：存在惟一的一组实数cba,,，使得当0h时，)()0()3()2()(2hofhcfhbfhaf．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足EBBA421．⑴证明：矩阵EA2可逆；⑵若200021021B，求矩阵Ａ．十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321A，4321,,,均为四维列向量，其中432,,线性无关，3212．若4321，求线性方程组Ax的通解．