2001年华东师范大学硕士研究生数学分析试题解答

华东师大数学分析2001年试卷一、（30分）简单计算题（1）验证当x时，202xtxedt与2xe为等价无穷大量.（2）求不定积分2ln(1)xdxx.（3）求曲线积分2(cos)sinOAIyydxxydy,其中有向曲线OA为沿着正弦曲线sinyx从O（0,0）到点A(,0).（4）设f为可微函数，222()ufxyz，并有方程23326xyzxyz，试对以下两种情形分别计算ux在点0(1,1,1)P处的值；1)由方程确定了隐函数(,)zzxy;2)由方程确定了隐函数(,)zzzx;二、（12分）求椭球2222221xyzabc与锥面2222220xyzabc(0)z所围成的立体.三、（12分）证明：若函数()fx在有限区域(,)ab内可导，但无界，则其导函数'()fx在(,)ab内必无界.四、（12分）证明：若1nna绝对收敛，则121()nnnaaaa亦必绝对收敛。五、（17分）设()fx在[0,1]上连续，(1)0f，证明：1.nx在[0,1]上不一致收敛；2.()nfxx在[0,1]上一致收敛；六、（17分）设函数()fx在闭区间,ab上无界，证明：1.,nxab，使得lim();nnfx2.,cab，使得0,(),fxc在(c-)[a,b]上无界.（此题鼓励多）2001年华东师范大学硕士研究生招生考试数学分析试题解答一、⑴用洛必达法则验证：22222222lim2lim00xxxtxxxtxxexedteedtex1lim220xxtxxedte1)21(lim222xeexxx110⑵)1()1ln()1ln(2xdxdxxx)1()1ln(1xxdxxxCxxxx1ln)1ln(1⑶2I⑷第一种情况：).22)(('222xzzxzyxfxuxyzyzxyzyzzx221636322.0)1,1,1(xu第二种情况：FORxzyyzyx6463SO，).3(')22)((')1,1,1(222)1,1,1(fyyxzyxfxux二、设立方体在xy平面的投影区域为：21),(2222byaxyxD。DdxdybyaxcbyaxcV222222221。令21:',,sin,cos2rDabrJaryarx。2021022)1(abrdrrrcdV21022)1(2drrrrabcabc322。三、（反证法）：若)('xf在),(ba上有界，设Mxf)('。则对任意取定),(bac，对一切),(bax有)()(')()()()(cfcxfcfcfxfxfxMcfabM)()(导致与)(xf在),(bax上无界的条件矛盾，故证得)('xf在),(bax上必定无界。四、因为1nna收敛，所以存在0M，使Maaan21，nnnaMaaaa)(21。又因为11nnnnaMaM收敛，故由优级数列判别法推得121)(nnnaaaa也收敛。五、⑴1,1)1,0(,0limxxn。由于)(01)0(sup10nxnx，因此nx在)1,0[不一致收敛，故在[0，1]上更不一致收敛。⑵由于0)1(f，因此]1,0[,0)(limxxxfnn0，因f在1x左连续，故0，当]1,1(x时，满足)()1()(xffxf于是当]1,1(x时，有Nnxfxxfn,)(0)(，说明nxxf)(在]1,1(x上一致连续。又在]1,0[x上，因为)(xf在[0，1]上连续，故存在最大值0M（若M=0，则0)(xf，结论显然成立）。此时有)(0)1(0)(sup10nMxxfnnx，所以nxxf)(在]1,0[x上一致连续。综上证得nxxf)(在[0，1]上一致连续。六、⑴因为f在],[ba上无界，故],[,0baxM，使Mxf)(。现取),2,1(nnM，相应地),2,1](,[nbaxn，使得nxfn)(，故)(limnnxf。⑵证明：（利用致密性原理）因为⑴中所得的],[baxn，故存在收敛子列，设为],[limbacxknk0,01K，当1Kk时，],[);(bacxkn。另一方面。因为)(limnnxf，故0,02KM，当2Kk时使Mnfk)(。综上，当21,maxKKKk时，同时有],[);(bacxkn，Mnfk)(，于是f在],[);(bac上无界。说明：利用有限覆盖原理亦可以完成证明。