2.4.1向量在几何中的应用空讲

12.4.1向量在几何中的应用（说案）一、教学目标与重难点分析◆知识与技能目标：运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题。◆重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何问题.◆难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题加以解决.二、教学过程分析：本节课的教学流程安排了六个环节，分别是复习准备、新课引入、探索发现、例题探究、迁移应用、练习反馈和小结反思。第一环节：复习准备：课前复习任务（由学生总结成书面材料）（1）向量的线性运算是怎样的?（2）平面向量共线的含义及条件是什么？平行向量的基本定理解决什么问题？（3）平面向量的基本定理及向量的正交分解？（4）平面向量的数量积中有哪些主要内容？【设计意图】：让学生回顾学过的知识有力于本节课的进行第二环节：新课引入平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来：例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图：平行四边行ABCD中，设AB＝a,AD＝b，则ACABBCab（平移），DBABADab，222||ADbAD（长度）．向量AD，AB的夹角为DAB第二环节：探索发现探索性问题：（1）若O为ABC重心,则OA+OB+OC=0（2）向量运算与几何中的结论＂若ab，则||||ab，且,ab所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（3）水渠横断面是四边形ABCD,DC=12AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?屏幕展示问题，学生独立思考3-4分钟后回答思路，必要时教师提示提示：1.要证明AB=CD，只要证明ABCD；22.要证明AB⊥CD，只要证明=0ABCD；3.要证明AB∥CD，只要证明存在实数，使得ABCD；4.要证明A、B、C三点共线，只要证明存在实数，使得ABCD；5.利用向量的数量积公式，可以求角cosabab第三环节：例题探究例题1、如图，已知平行四边形ABCD中，E、F在对角线BD上，并且BE=FD，求证AECF是平行四边形。abbaFEDCBA【师生互动】问题1证明AECF是平行四边形的方法有什么？学生思考，回答问题2选择合适的方法，问如何转化为向量条件表示？学生思考，回答，完成证明（选一名学生板书）多媒体出示题目，学生独立解答，教师巡视，其间，关注学生的解答过程，抽取有代表性的解题方法和有代表性的错误，做投影展示，提问其他同学对解法进行点评，问题3由学生总结解题方法提示：用向量方法解平面几何问题的步骤：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量．（2）通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．（3）把运算结果＂翻译＂成几何关系．【小结】本题的关键选择适当的基底，把四边形AECF的一组对边表示出来例题2、求证平行四边形对角线互相平分．【师生互动】问题4如何证明？学生思考，回答老师点评学生思路：要证明两条对角线互相平分，可以证明,AMMCBMMD，或11,22AMACBMBD。前一种方法可以建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示后即可；后一种方法就是课本提供的方法。师生共同讨论交流，由教师给出证明过程【小结】法一注重向量的坐标运算和解析法的运用：法二选取基底AB和AD，设未知数，列向量方程，解方程组的待定系数得结论，体现了方程思想的运用。第四环节：迁移应用：例题3：已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意一点，PEAB于点E，PFBC3于点F，连接DP，EF。求证DPEF。PFEDCBA【师生互动】问题5本题几何图形比较特殊，特殊在那里？让同学结合图形特点考虑采用哪种方法简便一些。问题6能否用坐标法完成？学生思考，回答老师点评学生思路：要证明两条直线（段）互相垂直，可以证明DPEFkk=1，也可以证明两向量数量积为0。前一种方法可以建立平面直角坐标系，点用坐标表示用斜率公式即可；后一种方法就是课本提供的方法，将向量用坐标表示后进行向量的数量积运算即可。师生共同讨论交流，由教师指导学生给出证明过程小结：结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。多媒体出示题目，每相邻5-6人为小组进行讨论，并给出推导过程，教师巡视指导，观察寻找优秀的解答，由小组代表投影并给大家讲解。【小结】法一注重向量的坐标运算和解析法的运用：法二选取基底AB和AD，设未知数，列向量方程，解方程组的待定系数得结论，体现了方程思想的运用。第五环节：练习反馈练习练习1．求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．练习2．如图，在平行四边形OBCA中，OAa，OBb，||||abab，求证四边形OBCA为矩形学生尝试练习，教师巡视，代表性地选取2-3名同学的解答，投影，师生共同点评，进一步总结用向量方法解平面几何问题的步骤。第六环节：小结反思先让学生归纳补充，然后教师再补充的方式进行：问题：通过本节课的学习，你有什么收获？（1）知识方面：熟悉了两个定理在解题中的应用；（2）数学思想：两个思想（数形结合，转化与化归）（3）能力方面：观察、分析、探究问题的能力。尾声：布置作业层次一、练习：A组1、2及B组1；层次二、习题2-4A1及习题2-4B1