4-1 根轨迹的基本概念

第四章线性系统的根轨迹法20:11第四章线性系统的根轨迹法第四章线性系统的根轨迹法20:11一、本章内容提要:1.介绍已知系统开环传递函数的极点、零点的条件下确定闭环系统的根轨迹法，并分析系统参量变化时对闭环极点位置的影响；2.根据闭环特征方程得到相角条件和幅值条件由此推出根轨迹的基本规律；3.根轨迹的绘制;4.广义根轨迹：参数根轨迹、零度根轨迹;5.根轨迹法分析系统性能。第四章线性系统的根轨迹法20:111.掌握根轨迹的基本概念；正确理解开环零极点和闭环零极点的关系及根轨迹的含义；二、本章教学目的及要求:2.掌握根轨迹的绘制方法(手工和MATLAB)；3.能够运用根轨迹法对控制系统进行分析；4.进一步体会闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系。第四章线性系统的根轨迹法20:11三、本章重点、关键、难点1.重点：利用根轨迹图分析控制系统2.关键点：根轨迹方程，幅值条件，相角条件3.难点：广义根轨迹的绘制第四章线性系统的根轨迹法20:11没有时域分析法的基础，根轨迹法只是一个“空中楼阁”。离开时域分析法来谈根轨迹方法是没有意义的，所以在学习根轨迹方法的时候要注意联系时域分析法的知识和结果。事实上，根轨迹方法只是时域分析方法的一种辅助图解法。第四章线性系统的根轨迹法第四章线性系统的根轨迹法20:11第一节根轨迹法的基本概念第四章线性系统的根轨迹法1()()0GsHs20:11闭环极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系110001111第四章线性系统的根轨迹法问题的提出从开环传递函数的极零点确定闭环传递函数的极点，实质上是求解闭环特征方程式的根。20:111、用解析法求解高次代数方程的根并非易事。2、当系统中的参数发生变化时，系统特征方程的系数会发生变化，引起特征方程的根也随之变化，这就需要进行反复大量的计算，既繁琐又费时。困难：第四章线性系统的根轨迹法20:111.不同研究内容所需的传递函数：G(s)H(s)R(s)C(s)B(s)E(s)()()1GsCssRsGsHs()()BsGsHsEs()1()1eEssRsGsHs10GsHs动态性能稳态性能稳定性引言拉氏反变换求c(t)0()lim()setsEs第四章线性系统的根轨迹法20:111）动态性能：用和这时，不但同开环传递函数直接相关，而且也与开环传递函数中的前向通路传递函数相关。通过开环传函来研究闭环传函。()()1GsCssRsGsHs(),()BsGsHsEs2.三大性能同各个传递函数的关系10GsHs2）稳定性：用分析(求解特征根或用劳斯判据)，只同开环传递函数有关；实质上是研究闭环极点在s平面上的分布。()1()1eEssRsGsHs3）稳态性能：用(根据定义式求出e(t))，也是只与开环传递函数有关；实质上是研究系统的型和开环增益。0lim()sssesEs第四章线性系统的根轨迹法20:11物理元件→典型环节→开环结构→闭环结构→系统数学模型(1)开环结构中的典型环节直接对应着开环传递函数的零极点(很容易获得)；(2)各个典型环节中的参数可以直接反映系统的物理参数，这一点对分析系统和改造系统非常有利；(3)由G(s)H(s)可以直接求取稳态误差；(4)同各种传递函数（如闭环传递函数和误差传递函数）有简单的关系。3.开环传递函数的特点另外：第四章线性系统的根轨迹法20:11开环传递函数(开环零极点+开环增益)一个美好的愿望：闭环零极点全部可能的分布图分析系统的三大类性能第四章线性系统的根轨迹法20:11项目内容教学目的理解三大性能分析的出发点，掌握根轨迹法的实质，初步理解根轨迹的条件。教学重点掌握根轨迹的基本概念、根轨迹方程、相角条件和模值条件。教学难点深刻理解开环传递函数零极点与闭环传递函数零极点的关系以及根轨迹图上反映出的系统信息。4-1根轨迹法的基本概念第四章线性系统的根轨迹法20:11根轨迹：当开环系统某一参数从零变到∞时，对应的闭环系统特征方程的根在s平面上变化的轨迹。根轨迹法：利用闭环系统的根轨迹来分析系统的三大性能的方法。一、根轨迹概念：第四章线性系统的根轨迹法例1已知一单位负反馈系统的开环传递函数为试分析该系统的特征方程的根随系统参数K的变化在s平面上全部可能的分布情况。20:11KG(s)H()s(0.5s1)s第四章线性系统的根轨迹法解：系统的闭环传递函数20:112220ssK21,1121s=1-2KsK2C(s)G(s)2(s)R(s)1G(s)H(s)s2s2KK系统的特征方程为特征方程的根是第四章线性系统的根轨迹法④当1/2K∞时,s1和s2为一对共轭复根，其实部恒等于-1，虚部绝对值随K*值的增加而增加；12s11,1122KsK20:11⑤当K→∞时,s1和s2的实部都等于-1，虚部趋向无穷远处。①当K=0时,s1=0，s2=-2（正好是开环极点）;设K的变化范围是〔0,∞），②当0K1/2时，s1与s2为不相等的两个负实根；③当K=1/2时，s1=s2=-1为等实根；讨论：第四章线性系统的根轨迹法20:11Ks1,s2Ks1,s20.0-1±11.5-1±j1.410.1-1±0.892.0-1±j1.730.2-1±0.773.0-1±j2.240.3-1±0.634.0-1±j2.650.4-1±0.456.0-1±j3.320.5-1±010.0-1±j4.360.6-1±j0.4520.0-1±j6.240.8-1±j0.7750.0-1±j9.951.0-1±j1+∞-1±j∞12s112,112KsK第四章线性系统的根轨迹法20:11以K为参数的数学曲线可以根据计算的数据表绘出(描点法)：(K=½）(K=0)(K=0)(K→∞)(K→∞)wjs-2-10[s]P1P2第四章线性系统的根轨迹法二、用根轨迹分析系统的性能•稳定性根轨迹没有进入右半s平面，闭环系统稳定。*11()()miinjjzKKp20:11稳态性能开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K*是根轨迹增益，根轨迹增益K*与开环增益K之间有一个转换关系。动态性能由K值变化所对应的闭环极点分布来估计(定性)。第四章线性系统的根轨迹法20:11上面用解出闭环特征方程的根，然后画成曲线得到根轨迹的办法并没有实际意义，因为这又回到求解高阶代数方程的问题上了。根轨迹图之所以能被广泛应用，就是因为有简便的作图方法可以画出根轨迹而不必求解高阶代数方程。说明：第四章线性系统的根轨迹法三、闭环零极点与开环零极点之间的关系20:11)(sR)(sC-)(sG)(sH*11()()fiiGqiiszKsp1*1()()()ljjHhjjszHsKsp前向通路传函：反馈通路传函：221212221222(1)(21)()(1)(21)GKsssGssTsTsTs第四章线性系统的根轨迹法111***111()()()()()()()()flmijjijjGHqnhiijiijszszszGsHsKKKspspsp20:11开环传函：闭环传函：*1*111*111*1()()()()()()1()()()()()1()fiifhGqGijiijimnmjijjijniiszKKszspspGssGsHsszspKszKsp第四章线性系统的根轨迹法*11*11()()()()()fhGijijnmijijKszspsspKsz20:11结论：开环零极点和根轨迹增益闭环极点分析系统根轨迹图（1）闭环系统的根轨迹增益=开环系统前向通路根轨迹增益。（2）闭环系统的零点=开环前向通路传递函数的零点+反馈通路传递函数的极点。（3）闭环极点与开环零极点、开环根轨迹增益均有关。第四章线性系统的根轨迹法四、根轨迹满足的基本条件(根轨迹方程)1()()0GsHs20:111*(21)1()1()mjjjkniiszKesp向量相等必须满足两个条件：11()()(21),(0,1,2,)mnjijiszspkk*11niimjjspKsz相角条件：模值条件：()()1GsHs注意：s为闭环传函的特征根(极点)，zj和pi为开环传函的零点和极点。第四章线性系统的根轨迹法说明•相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件。绘制根轨迹时，只需要使用相角条件。当需要确定根轨迹上各点的值时，才使用模值条件。20:11知道了根轨迹上的点满足的基本条件，仍实际上还是不能绘制出根轨迹。要比较快捷的绘制根轨迹，需要找出根轨迹的一些基本规律。第四章线性系统的根轨迹法※根轨迹增益K*与开环增益K的关系20:11)s(H)s(GslimK0s开环系统的根轨迹增益K*与开环系统的增益K之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只与开环传递函数中的零点和极点有关。由第三章，系统的开环增益为mmjjj1j1**nns0s0iii1i1(s)()KlimsG(s)H(s)limKK(s)()zzpp把开环传函化为零极点增益形式也可以得到根轨迹增益K*。第四章线性系统的根轨迹法小结•掌握根轨迹和根轨迹法的概念；•理解根轨迹可以用来分析系统的三大性能；•理解开环传函可以反应闭环传函的特征；•掌握根轨迹满足的基本条件。20:11