83圆的一般方程

解析几何圆的方程圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程xCMrOy(x-a)2+(y-b)2=r2圆心坐标C(a,b)圆的半径r圆的标准方程圆的标准方程练习1、求满足下列条件的圆的方程：(1)圆心为(0,-3)，过(3,1);(2)圆心为坐标原点，且与直线4x+2y-1=0相切；(3)圆过点(0,1)和（0，3），半径等于1；（1）x2+(y+3)2=25（2）x2+y2=201（3）x2+(y-2)2=1配方可得：把方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)当D2+E2-4F0时,表示以（）为圆心，以()为半径的圆.2,2EDFED4212222224()()224DEDEFxy(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2y=-E/2，表示一个点（）.2,2ED动动脑(3)当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F0）可表示圆的方程22224()()224DEDEFxy圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圆的一般方程与标准方程的关系：(D2+E2-4F0)（1）a=-D/2，b=-E/2，r=FED42122②没有xy这样的二次项（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：①x2与y2系数相同并且不等于0；判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径(1)x2+y2-2x+4y-4=0(2)2x2+2y2-12x+4y=0(3)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0是圆心（1，-2）半径3是圆心（3，-1）半径10不是不是不是练习1.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于3,6,4)(A3,6,4)(B3,6,4)(C3,6,4)(DD练习因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法方法一：所求圆的方程为：即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的一般方程为：因为O(0,0),A(1,1),B(4,2)都在圆上，则222240)0(DEFxyDxEyFF=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法方法二：F=0D=-8E=6解得举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法方法三：yxM1(1,1)M2(4,2)0圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点xyOCA(1,1)B(2,-2):10lxy弦AB的垂直平分线己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.小结(特殊情况时,可借助图象求解更简单)注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.举例例4.已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0）由于B点坐标为（4，3），M为AB的中点，所以23,2400yyxx整理得.32,4200yyxx又因为点A在圆上运动，所以A点坐标满足方程，又有（x0+1）2+y02=4所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4整理得1)23()23(22yx所以，点Ｍ的轨迹是以（）为圆心，１为半径的圆3322，yABMxo例5.已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1)、B(x2，y2).证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0AB•C•P解法一：求圆心、求半径解法二：直译法P点满足PA⊥PB即12211xxyyxxyy举例1.本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法求解)3.给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?0402222FEDFEyDxyx配方展开2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)小结几何方法求圆心坐标（两条直线的交点）（常用弦的中垂线）求半径（圆心到圆上一点的距离）写出圆的标准方程待定系数法22222()()0)xaybrxyDxEyF设方程为(或列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）小结求圆的方程P124习题A组6P124习题B组1作业知识沿深，能力突破1、一个圆过A(4,2)、B(－1，3)两点，且在坐标轴上的四个截距之和为14，求此圆的方程。2、如图，等腰梯形ABCD底边长分别为6和4，高为3，求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长。CADB