2007年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛试题及参考答案

2007年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛试题及参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1、已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点（－2，0），则不等式axb的解集为（）（A）x－2（B）x－2（C）x2（D）x2解：∵a0,b=2a,∴axb的解集为x2.选（C）2、已知20062005,20072006,20082007abc，则下列结论正确的是（）（A）abc（B）cba（C）bac（D）bca解：∵111,,200620052007200620082007abc，∴abc选（A）3、父母的血型与子女的可能血型之间有如下关系父母的血型O,OO,AO,BO,ABA,AA,BA,ABB,BB,ABAB,AB子女的可能血型OO,AO,BA,BA,OA,B,AB,OA,B,ABB,OA,B,ABA,B,AB已知：（1）麦恩的父母与麦恩的血型各不相同；（2）麦恩的血型不是B型，那么麦恩的血型是（）（A）A型（B）AB型或O型（C）AB型（D）A型或O型或AB型解：选（D）4、四条直线两两相交，且任意三条不交于同一点，则这四条直线共可构成的同位角有（）（A）24组（B）48组（C）12组（D）16组解：四条直线共可构成四组不同的三条直线组，而每一三条直线组共可构成12对同位角，故共有4×12＝48组同位角。选（B）5、已知一组正数x1,x2,x3,x4,x5的方差222222123451(20)5Sxxxxx，则关于数据123452,2,2,2,2xxxxx，的说法：（1）方差为2S；（2）平均数为2；（3）平均数为4；（4）方差为42S，其中正确的说法是（）（A）（1）与（2）（B）（1）与（3）（C）（2）与（4）（D）（3）与（4）解：2222222123451(52)5Sxxxxx，∴222,2,xx（3）正确（1）正确故选（B）6、已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且abc，如果b＝7，则这样的三角形共有（）（A）21个（B）28个（C）49个（D）54个解：当a=2时，有1个；当a=3时，有2个；当a=4时，有3个；当a=5时，有4个；当a=6时，有5个；当a=7时,有6个，共有21个故选（A）2222222123451(24)(24)(24)(24)(24)5SxxxxxS0四三二一y=x+1y=-x-12yx7、如图，直线l1l：y=x+1与直线2l：把平面直角坐标系分成四个部分，点在（）（A）第一部分（B）第二部分（C）第三部分（D）第四部分解：选（C）8、已知实数a满足20062007aaa，那么22006a的值是（）（A）2005（B）2006（C）2007（D）2008解∵a≥2007,∴20062007aaa,∴20072006a,∴22006a=2007,故选（C）9、设分式13(13)56nnn不是最简分数，那么正整数n的最小值可能是（）（A）84（B）68（C）45（D）115解：设d是（n-13）与5n+6的一个公约数，则d︱(n-13),d︱(5n+6),∴d︱(56)(13)nn,∴d︱71,∵71是质数，∴d=71,∵d︱(n-13),∴n-13≥71,∴n≥84,n的最小值是84，选（A）10、如图，P是△ABC内一点，BP，CP，AP的延长线分别与AC，AB，BC交于点E，F，D。考虑下列三个等式：（1）ABPAPCSBDSCD；（2）BPCAPCBPCSSABSBF；（3）1CEABEPAEBFPC。其中正确的有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个解：APCABPAPBBPDBPDPCDAPCPCDSSSSAPBDSSPDSSCD（1）正确ABCABCABPBPCAPCABPBFCBFPBFCBPFBPCSSSSSSABBFSSSSS（2）正确1BPCBPCAPCAPBAPBBPCAPCBPCSSSSCEABEPAEBFPCSSSS（3）正确故选（D）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11、已知对所有的实数x,112xxmx恒成立，则m可取得的最大值为_______解：当－1≤x≤2时，12xx的最小值为3，∵1x≥0，PFEDCBA12yx44,57∴当x=1时，112xxx的最小值为3，∴3≥m,m的最大值为3。12、《射雕英雄传》中，英姑对黄蓉说：“你算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三个字相加都是十五，如何排列？”黄蓉当下低声诵道：“九宫之意，法以灵兔，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。…”请按黄蓉所述将一至九这九个数填入右边的“宫”中解13、军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进位制表示为_______abc，七进位制表示为_______cba，那么苹果的总数用十进位制表示为______________解：220∵1≤a≤6,1≤b≤6,1≤c≤6,228877abccba,63a+b-48c=0,b=3(16c-21a),∴b=0,3,6,经检验b=3符合题意，∴b=3,c=4,a=3,23838422014、一个七边形棋盘如图所示,7个顶点顺序从0到6编号,称为七个格子,一枚棋子放在0格,现在依逆时针移动这枚棋子,第一次移动1格,第二次移动2格,…,第n次移动n格，则不停留棋子的格子的编号有_________解：2，4，5尝试发现：（1）从不停留棋子的格子为2，4，5；（2）棋子停留的格子号码每移动7次循环（即第k次与第(k+7)次停留同一格）。证明：第k次移动棋子，移动的格子数为：1＋2＋3＋…＋k,第(k+7)次移动棋子，移动格子数为：1＋2＋3＋…＋k+(k+1)+…+(k+7)［1＋2＋3＋…＋k+(k+1)+…+(k+7)］-(1＋2＋3＋…＋k)=7k+28=7(k+4)故第（k+7）次与第k次移动棋子停留格子相同。三、解答题（本大题共2小题，每小题25分，共50分）15、有40组CASIO卡片，每组均由C，A，S，I,O五张卡片按C,A,S,I,O顺序由上而下叠放而成，现将这40组卡片由上至下叠放在一起，然后把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三章丢掉，把第四张放在最底层，…，如此继续下去，直至最后只剩下一张卡片。（1）在上述操作过程中，当只剩88张卡片时，一共丢掉了多少张卡片S？（2）最后一张卡片是哪一组的哪一张卡片？解：（1）40组CASIO卡片共计200张，将200张卡片由上至下依次编号为：1，2，3，…，200，由操作法则知，当丢掉100张卡片时剩下卡片编号为2，4，6，…，200，若再丢掉12张卡片，涉及的卡片有24张，编号为2，4，6，…，48，丢掉12的卡片为2，6，10，14，18，22，26，30，34，38，42，46，其中被丢掉的卡片S有两张（编号为18，38）。丢掉100张卡片时，有20张卡片S，所以当只剩88张卡片时，以供丢掉了22张卡片S。4923578160654321（2）若只有128张卡片（72），则最后一张被丢掉的是编号为128的卡片。∵128＜200＜256，当丢掉72张卡片时，涉及卡片共144张，在剩下的128张卡片中，最后一张的编号为144。144＝5×28＋4，∴最后一张卡片为第29组的第四张卡片I。16、如图△ABC，D是△ABC内一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线求证：AB=CD。证明：取BC中点T，AF的中点S，连GT，HT，HS，SM。∵G,H,M分别为BD，AC,EF的中点∴MS∥AE，12MSAE，HS∥CF，12HSCF，∴HS=SM，∴∠SHM＝∠SMH∵GT∥CD，HT∥AB，11,22GTCDHTAB∴GT∥HS，HT∥SM∴∠SHM＝∠TGH，∠SMH＝∠THG∴∠TGH＝∠THG∴GT＝TH∴AB=CDFHGFEDCBASTFHGFEDCBA